函數與導數的關系與定義?大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來讨導數的定義及其幾何意義、與連續性的關系以及函數的求導法則那你知道導數的定義及其幾何意義、與連續性的關系以及函數的求導法則呢？沒關系，學霸來幫你來了，現在小編就來說說關于函數與導數的關系與定義?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

函數與導數的關系與定義

大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來讨導數的定義及其幾何意義、與連續性的關系以及函數的求導法則。那你知道導數的定義及其幾何意義、與連續性的關系以及函數的求導法則呢？沒關系，學霸來幫你來了。

談論導數之前，我們先看看兩個例子：

直線運動的速度①取從時刻 t0到t這樣一個時間價格，在這段時間内，質點從為止S0=f(t0)移動到s=f(t); (s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0,質點的平均速度。②瞬時速度v=lim ( (f(t) )-(f(t0) )/(t-t0) ) (t→t0)切線問題設有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN。當點N沿曲線C趨于點M時，如果各項MN繞點M旋轉而趨于極限為止MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的的切線。

tan θ=（y-y0）/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)

斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)（x→x0）

一、導數的定義

設函數 y=f(x)在點x0的某個領域内有定義，當自變量x在x0處取得增量△x（點x0 △x仍在該鄰域内）時，相應地，因變量取得增量 △y=f(x0 △x)-f(x0)；如果 △y與△x之比當△x→0時的極限存在，那麼稱函數y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)的在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數，記為f'(x0),即

也可記住

二、導數的幾何意義

曲線在點（x0，y0）的切線方程：

曲線在點（x0，y0）的法線方程：

注：曲線的 切線方程的斜率 與 曲線的 法線方程的斜率 互為負倒數

三、函數的可導性與連續性的關系

設函數y=f(x)在點x處可導，即

存在。由具有極限的函數與無窮小的關系知道

其中α為當 △x→0時的無窮小，上式兩邊同乘 △x 得

當 △x→0時，△y→0。函數yy=f(x)在點x處是連續的。所以，如果函數y=f(x)在點x處可導，那麼函數在該點必連續。

四、函數的求導法則

①函數的和、差、積、商的求導法則

和、差： （u ± v）’=u’± v’

記：和、差的導數分别求導，再和、差。

積：(uv)=u' v u v' ， (Cu)'=C u'(C為常數)

簡記：乘積的導數是 前導後不導加上後導前不導（前是指 乘積中的第一個因子，後是指 乘積中的第二個因子）。

商：(u/v)'=(u' v-u v') / v^2 （v不等于0）

簡記：商的導數是 子導母不導 減去 母導子不導 最後 除以 分母的平方（子 指分子，母指 分母）。

②反函數的求導法則

如果函數 x=f(y)在區間I内單調、可導且f '(x)≠0，那麼它的反函數在反函數的區間内也可導，且

記：反函數的導數 等于 原函數的導數的倒數

③複合函數的求導法則

如果u=g(x) 在點x可導，而y=f(u)在點u=g(x)可導，那麼複合函數 y=f[g(x)]在點x可導，其導數為

記：複合函數的導數 等于 一層一層往裡面求導，再乘積。

例如 (sin nx)'= n cos nx

④常用的導數公式

（1）( C )'=0

（2）(x^u)'=u x^(u-1)

（3）(sin x)'= cos x

（4） (cos x)'=-sin x

（5）(tan x)'= sec(^2) x

（6）(cot x)'=-csc(^2) x

（7）(sec x)'=sec x ·tanx

（8）(csc x)'=-csc x cot x

（9）(a^x)'=(a^x) · ln a

（10）(e^x)'=e^x

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

不要怕，學霸來幫你來了，這幾個有口訣可以幫助記憶：

口訣：

常為零，幂降次，對倒數，

指不變，正變餘，餘變正，

切割方，割乘切，反分式。

口訣含義：

常數的的導數為零。

幂函數的導數是指數減一，在把原指數做系數。

對數函數的導數是倒數。

指數的導數不變，在乘以 ln a。

正弦函數變餘弦函數，餘弦函數變正弦函數。

正切和餘切的導數分别是正割的平方和餘割的平方。

正割和餘割的導數分别是 正割乘以正切 和 餘割乘以餘切

反三角函數的導數都是分式。

五、高階導數

一般地，函數y=f(x)的導數 y'=f'(x)仍然是x的函數。我們把 y'=f'(x)的導數叫做函數y=f(x)的二階導數，記作 y'' 或

f'(x)叫做f(x)的一階導數，一階導數的導數是二階導數，二階導數的導數是三級導數。

...一般地，（n-1）階導數的導數叫n階導數。

y', y'' ,y''', y^(4), . . . . . .y^(n)

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