孿生素數研究進展?素數分布之道(原創彭秋年)關鍵詞：能量參照法、素數分布新論.，下面我們就來聊聊關于孿生素數研究進展?接下來我們就一起去了解一下吧!

孿生素數研究進展

素數分布之道(原創彭秋年)

關鍵詞：能量參照法、素數分布新論.

㈠、創建能量參照法生成素數分布新論.

首先陳述素數定理：如果以q表示自然數s範圍内的素數數量，則q=s/㏑s. (s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算更精确)

當s足夠大時，顯然滿足：

(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集.且令：s範圍内，集合X中大于2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；定義s範圍内集合X中元素的能量和為e=1/㏑x₁ 1/㏑x₂… 1/㏑xₙ.

則有：s範圍内，集合N中元素的能量和e、素數數量q均接近于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a-2,(a∈N)}為例展開論述.

且令：集合X、N中與pᵢ互素的元素的分布比例分别為yᵢ、zᵢ. (i∈N,p₀=2,i>0時,pᵢ表示第i個奇素數)

則有：i=1時，y₁=1，z₁=2/3； i≠1時，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；集合X、N中與p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别為y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

則有：r₀=1；i>0時，rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析整理：s範圍内集合X中的元素相對于集合N中的元素成為素數的能力強度其參照值是r=3/2；簡述為集合X存在參照常數r=3/2.

且令：s範圍内集合X中元素的能量和為e.

則有：e=s/(3㏑s).

分析整理：s範圍内集合X中的素數數量q等于e、r的乘積，即q=er=s/(2㏑s).

綜上所述，以此類推：

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}. (p為素數；y=1,2…p-1)

則有：p、y确定時，s範圍内集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令：P={全體奇素數}；P₀=P∩X.

則有：s範圍内集合P₀、P中元素數量分布之比為1/(p-1).

定義：使用能量和e與參照值r的概念對素數分布進行分析探讨的方法稱為能量參照法.

謹将素數定理與能量參照法結合生成素數分布新論如下：

如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集；集合X中與pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别為yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令：

zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

如果存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都接近于r；則稱集合X存在參照常數r.

且令：s範圍内集合X中元素的能量和為e，素數元素的數量為q. (s足夠大)

則有：q=er.

㈡、探讨各種奇素數組合的分布狀态.

謹将奇素數組合分為兩種類型.

類型一、非動态素數鍊.

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以某個奇素數p，所得互異的正整數餘數為1,2…p-1.

(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a u₁，a u₁ u₂，… a u₁ u₂… uₙ}. (a為奇素數)

則有：序列A中至少有一個數能夠被p整除.

當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鍊(或非動态素數鍊).

序列A中的元素包含p時才有可能均為素數，使得序列A能夠包含p的a值數量有限.

因此，任一型号的非動态素數鍊數量有限.

類型二、動态素數鍊.

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少于p-1個.

(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)

且令：序列A={a，a u₁，a u₁ u₂，… a u₁ u₂… uₙ}. (a為奇素數)

當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鍊(或動态素數鍊).

且令：a，a a₁，a a₂，…a aₙ₋₁均為素數. (2≤n＜a，2≤a₁＜a₂…＜aₙ₋₁)

則有：a₁，a₂，…aₙ₋₁除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少于p-1個.

故a，a a₁，a a₂，…a aₙ₋₁是動态素數鍊.

由此可知：任意n(n≥2)個互異且大于n的奇素數均可組成一條長度為n的動态素數鍊，幾乎所有的奇素數組合都屬于動态素數鍊.

接下來以序列A={5,7,11,13}為例探讨各種動态素數鍊的分布狀态.

序列A={5,7,11,13}中相鄰素數的間距依次是u₁=2，u₂=4，u₃=2.

且令：P={全體奇素數}；

Qᵢ={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)

且令：Rᵢ=P∩Qᵢ；S₁=R₁∩R₃；

S₂=R₂∩R₃；S₃=R₁∩R₄；

S₄=R₃∩R₄；T=R₁∩R₃∩R₄.

則有：R₁={3,5,11…}；R₂={3,7,13…}；

R₃={5,7,11…}；R₄={3,5,11…}；

S₁={5,11,17…}；S₂={7,13,37…}；

S₃={3,5,11…}；S₄={5,11,23…}；

T={5,11,101…}.

[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)分别由全體加2i型素數鍊的第一個元素組成；集合S₁、S₂、S₃、S₄分别由全體加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素數鍊的第一個元素組成；集合T由全體加2加4加2型素數鍊的第一個元素組成]

已知：s範圍内素數的分布密度是1/㏑s.

因此，s範圍内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同樣是1/㏑s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s範圍内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑²s.

已知集合Q₁={x|x=a-2,(a∈P)}={1,3,5…}.

且令：集合Q₁中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ. (i∈N)

則有：y₀=1；i>0時，yᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1).

且令：

zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

則，

rᵢ={(1/2)(3/4)(5/6)…[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}可化為式B與式B'如下：

式B、

rᵢ=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}[pᵢ/(pᵢ-1)].

式B'、

rᵢ=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][pᵢ/(pᵢ-1)]}.

式B中 pᵢ/(pᵢ-1)＞1；

[(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ₋₁/(pₘ₋₁-1)]＞1.

(m=2,3…i)

因此，

rᵢ＞[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

式B'中 [(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ/(pₘ-1)]＜1. (m=2,3…i)

因此，rᵢ＜(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p₍ᵢ₋₁₎-2)/(p₍ᵢ₋₁₎-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

經計算，rᵢ=2,1.5,1.406,1.367,1.354…

當i=253時，1.3196＜rᵢ＜1.3204；随着i的不斷增大，rᵢ→1.3203236…

因此，rᵢ→1.320(精确到千分位)；即，集合Q₁存在參照常數r=1.32.

因此，s範圍内集合Q₁中素數數量分布的計算公式是q=er=1.32s/㏑²s.

同理可證：集合Q₂，Q₃，Q₄的參照常數依次是1.32，2.64，1.32.

因此，s範圍内加u(u=2,4,6,8)型素數鍊[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)中元素]數量分布的計算公式依次是1.32s/㏑²s，1.32s/㏑²s，2.64s/㏑²s，1.32s/㏑²s.

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}；P₁=X∩R₁.

(p為素數,y∈N,0＜y＜p；p＞2時,y≠2)

則有：p、y确定時，s範圍内集合P₁、R₁中的元素數量分布之比為1/(p-2).

(p=2時,用1代替p-2)

且令：

R₁'={x|x=a 6,(a∈R₁)}={9,11,17…}.

已知：s範圍内集合R₁中元素的分布密度是1.32/㏑²s. 因此，s範圍内集合R₁'中元素的分布密度同樣是1.32/㏑²s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s範圍内集合R₁'中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1.32/㏑²s)=1.32s/㏑³s.

且令：集合R₁'中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ. (i∈N)

則有：

y₀=1,y₁=1；i＞1時,yᵢ=(pᵢ-3)/(pᵢ-2).

且令：

zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

經計算，rᵢ→2.165(精确到千分位).

即，集合R₁'存在參照常數r=2.165.

因此，s範圍内集合R₁'中素數數量分布的計算公式是q=er=2.86s/㏑³s；即，s範圍内加2加4型素數鍊(集合S₁中元素)數量分布的計算公式是2.86s/㏑³s.

同理可證：s範圍内加4加2、加2加6、加6加2型素數鍊(集合S₂、S₃、S₄中元素)數量分布的計算公式都是2.86s/㏑³s.

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}；P₂=X∩S₁.

(p為素數,y∈N,0＜y＜p；p=3時,y≠2；p=5時,y≠1,2；p＞5時,y≠2,6)

則有：p、y确定時，s範圍内集合P₂、S₁中的元素數量分布之比為1/(p-3).

(p=2,3時,用1代替p-3)

關于rᵢ的計算謹作論述C(标識C備用)：

在計算rᵢ→1.32(n=1)及rᵢ→2.165(n=2)的過程中發現，n為任意正整數時，rᵢ={…[(pᵢ-n-1)/(pᵢ-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}都能夠類似地化為兩個式子，且使得：一個式子裡面從某一項開始，後面連續相乘的各項均趨近1且不小于1；另一個式子裡面從某一項開始，後面連續相乘的各項均趨近1且不大于1.

因此，n為任意正整數，rᵢ都将趨近于常數.

且令：

S₁'={x|x=a 8,(a∈S₁)}={13,19,25…}.

經計算，集合S₁'存在參照常數r=1.451.

已知：s範圍内集合S₁中元素的分布密度是2.86/㏑³s. 因此，s範圍内集合S₁'中元素的分布密度同樣是2.86/㏑³s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s範圍内集合S₁'中元素的能量和為 e=(s/㏑s)(2.86/㏑³s)=2.86s/㏑⁴s.

因此，s範圍内集合S₁'中素數數量分布的計算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s；即，s範圍内加2加4加2型素數鍊(集合T中元素)數量分布的計算公式是4.15s/㏑⁴s.

且令：X={x|x=pa-y,(a∈N)}；P₃=X∩T.

(p為素數,y∈N,0＜y＜p；p=3時,y≠2；p=5時,y≠1,2,3；p=7時,y≠1,2,6；p＞7時,y≠2,6,8)

則有：p、y确定時，s範圍内集合P₃、T中的元素數量分布之比為1/(p-4).

(p=2,3時,用1代替p-4)

關于公式系數(例4.15)的計算謹作論述C'：

且令：序列U={u₁，u₁ u₂，u₁ u₂ u₃}中的元素(即2,6,8)除以素數pₓ，所得互異的正整數餘數為tₓ個. (x=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)； b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

則有：m足夠大時，

ab³/d⁴=1.32*2.165*1.451=4.15.

綜上所述，以此類推：

如果序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少于p-1個.

(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)

則有：s範圍内加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊數量分布的計算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)

綜合論述C、C'，系數cₙ的計算方法如下：

且令：序列U中的元素除以素數pₓ，所得互異的正整數餘數為tₓ個. (x=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

則有：m足夠大時，

cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n個常數之積=常數.

當㏑s＞n 1時，cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一個增函數，其值域為無窮大；因此，加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊存在無窮多條.

繼續探讨

經分析整理，n為正整數，可得以下結論：

1、s範圍内加2加4…加2n型動态素數鍊數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

2、s範圍内連續n個加u型動态素數鍊數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s. (假設與偶數u互素的最小素數為p,n≤p-2)

3、s範圍内加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=mᵃ(m-1),(m-1為正整數,a=1,2…n)]

4、假設區間[n,2n)(n＞2)内存在t個素數，則該t個素數是一條長度為t的動态素數鍊；假設任意連續的n個自然數中，最長的動态素數鍊包含y個素數；n确定時，理論上能夠通過有限個步驟的計算得到确定的t、y(且t≤y).

5、如果素數鍊的第一個元素小于s，則定義該素數鍊在s範圍内；當n确定、s足夠大時，(n 1)s範圍内每s個連續的自然數中接近存在s/㏑s個素數；因此，s範圍内加u₁加u₂…加uₙ(uᵢ≤s,i=1,2…n)型動态素數鍊的數量總和接近于(s/㏑s)ⁿ⁺¹；因此，這些素數鍊數量分布的計算公式的系數總和接近于sⁿ.

[依據系數cₙ的取值規律同樣可證(略)]

關于動态素數鍊伸展性與對稱性的簡論.

且令：序列U={u₁，u₁ u₂，… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以素數p，所得互異的正整數餘數為a個；序列V={mu₁，m(u₁ u₂)，…m(u₁ u₂… uₙ)}. (n、m均為正整數)

則有：m被p整除時，序列V中的元素均被p整除；m與p互素時，序列V中的元素除以素數p，所得互異的正整數餘數同樣為a個.

且令：序列W={uₙ，uₙ uₙ₋₁，… uₙ uₙ₋₁… u₁}；序列U中的元素除以素數p，所得餘數依次組成序列X={x₁，x₂，…xₙ}；序列W中的元素除以素數p所得餘數依次組成序列K={k₁，k₂，…kₙ}.

則有：xₙ=kₙ；(xᵢ kₙ₋ᵢ)除以p得到餘數xₙ. (i=1,2…n-1)

因此，序列X、K中互異的正整數數量相等.

綜合而論，動态素數鍊存在以下基本性質：

任一型号的動态素數鍊在自然數中的分布具有無窮性、諧和性、伸展性、對稱性.

無窮性是指任一型号的動态素數鍊其數量都是無窮的.

諧和性是指任一型号的動态素數鍊都對應一個公式，其數量的分布狀态接近于該公式的增長趨勢. 同時存在更深層次的諧和性，且令全體加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊的第一個元素組成集合P'；u₁、u₁ u₂、… u₁ u₂… uₙ除以素數p所得餘數為bᵢ(i=1,2…n)，存在k個正整數y滿足：y＜p，y≠bᵢ；X={x|x=pa-y,(a∈N)}；Pₙ=P'∩X；當p、y确定時，s範圍内集合Pₙ、P'中元素數量分布之比為1/k.

伸展性是指将任一型号的動态素數鍊其相鄰素數的間距統一放大到m(m為正整數)倍，即可得到m倍間距型号的動态素數鍊，s範圍内兩者數量分布之比為常數.

對稱性是指對于任一型号的動态素數鍊，都将存在與其相鄰素數的間距對稱的動态素數鍊，s範圍内兩者數量分布之比為1.

㈢、探讨偶數u的素數分解對的分布問題.

且令：u(u>1000)為偶數；√u範圍内存在m個奇素數；X={x|x=u-a,(a∈P,a＜u)}.

且令：集合X中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ). (i=0,1…m)

則可推出rᵢ→r；u=2ⁿ(n∈N)時，r=1.32；u存在奇素因數d₁,d₂…dₓ時，

r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)].

每個偶數u都對應一個參照常數r.

經分析，s(s≤u/2,s的下限＜＜u/2)範圍内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此，s範圍内集合X中元素的能量和為e=s/(㏑s㏑u).

因此，s範圍内使得a、u-a均為素數的a值數量分布的計算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).{偶數u＞1000,s≤u/2,s的下限＜＜u/2；u=2ⁿ(n∈N)時,r=1.32；u存在奇素因數d₁,d₂…dₓ時，r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]}

當s=u/2時，可得偶數u的素數分解對數量的計算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).

(u較小時,用㏑u-1.08代替㏑u計算)

依據該公式判斷哥德巴赫猜想成立.

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