函數是高中數學的重點和難點模塊，考察題目難度有高有低，相對來說比較抽象，也可以說是整個高中數學學習的基礎模塊，函數學不好，其他部分很難有所突破。因為函數部分内容較多，我們要分 3 課時完成整體知識樹的構建。函數（上）包括函數的概念與性質，函數（中）包括三大基本初等函數中前兩個的性質學習，基本初等函數有指數函數、對數函數、幂函數。我們先學習前兩個。函數（下）主要學習剩餘的幂函數和函數零點問題。

函數屬于CBA 方法中的B——branch 類，高考出題可以說幾乎滲透到所有題目當中，有點隐形人的感覺，你不能非常明确地看到他， 但是他卻一直圍繞在你身邊。函數知識點中，細微的小陷阱很多，而且題目會向縱深考察知識點的運用，學習時必須開動腦筋，既注意細節又要練習深入思考，難度的确很大。準備好了嗎？Let’s go！

先來了解一下函數模塊知識的總體特點。1、“抽象又狡猾”；2、“縱深化分布”；3、“圖像為王”。

1、函數部分的知識點相對比較抽象，各個知識點之間的界限有點模糊，還經常綜合起來一起考。這就導緻做題時會“憑感覺”，因此，函數非常需要知識樹來幫助你理清思維。狡猾的意思是，學習知識點時覺得懂了，做題時候就是“想你時知識點在腦海，用你時解題方法在天涯”。知識點和解題之間聯系不上，還經常交叉使用。舉個例子，給你一把錘子，直接讓你坐個闆凳出來…我現在又給你一個螺絲刀，還是讓你做個闆凳出來…你會問剛才不是說好用錘子做闆凳的嗎？當然，錘子我也不會用。函數解題就是這個特點。

2、函數知識的分布主要是縱深式的，知識樹的每條分支都比較長，運用起來需要從知識樹的一條分支入手，不斷深入找下去，一直找到最後與解題相關的部分。很累，大腦容易“抽筋”。

3、敲黑闆！函數學習唯一的王道是：畫圖像！抽象又縱深發展的知識點非常燒腦，如何保護一下我們的大腦？當然是圖像！當一個函數圖像出現了，我們就可以看圖說話了，單調性、奇偶性、周期性等等，一目了然，圖像是把函數抽象的知識點和具體的解決方法結合

起來的利器，所以現在先提出一個要求，不管是否需要畫圖，遇到函數就嘗試着畫一畫圖像，這會讓你的解題越來越快，思維壓力也越來越小。

現在我們正式進入函數的第一部分——概念與性質。先了解一下函數概念和性質的本質，我們不談那些書本上的說辭，直接說最接地氣的。想一下什麼是函數？就是兩個量之間的關系，給出x，

給出關系式，就能求 出y 值。那麼從這裡開始，我們就要養成深入思考的能力，在這裡不隻是給出 x 才能求出y 值，如果給出 y 值一樣能求出x 值。這兩者是可以互相推算的。這也就是後面我們要提到的定義域和值域的問題。

函數性質。單調性、奇偶性、周期性、對稱性，其實就是能夠理解的你把圖像畫得準确的各種特點。這些都為圖像服務，圖像也為各種性質服務，大家相互服務，很和諧。

接下來，讓我們來看看函數的題目到底是為了求些什麼， 知道了這些，才知道你要總結什麼。總體來講，函數就是先盡量把圖像畫出來，然後，1、研究圖的各種特點，比如高、矮、胖、瘦、硬朗還是柔和、連續還是斷開等；2、研究圖像上點、線段之間的關系， 或者是他們跟坐标軸之間的關系，比如說誰大誰小，誰長誰短，還有跟x 軸有沒有交點，有幾個，這不就是零點問題了嘛。

下面我們把函數的整體體系先了解一遍。說起函數，你會覺得很熟悉，數學處處皆函數，但是如果我問，函數都學了什麼呀？現在想想，能說得全嗎？我想一定不能，基本都是隻能說某幾個知識點，而且排列還非常混亂。函數知識很多，又抽象，就會造成這種現象。首先還是要明确一個原則，畫圖！畫圖！畫圖！重要的事情說三遍。整個函數學習的過程，畫圖畫得好就已經成功了一半。接下來我們來捋順一下知識樹的結構。

函數首先要學習概念和性質，其中概念就包括構成函數的三大要素，定義域，解析式，值域。其中最重要的是前兩個，定義域和解析式，定義域是他伴随産物，是有前兩者才随之産生的值域。然後我們要學習性質，單調、奇偶、周期、對稱。這些性質是什麼，聽起來很抽象，我們來翻譯一下，就是我剛才講的，這些性質就是在描述函數圖像的形狀，高了矮了胖了瘦了，上升了下降了等等。這是對函數一個整體的基本認識，也是這節課我們要全面掌握的内容。

接下來，掌握了函數這些有點抽象的性質之後，我們要看看例子了，所以函數第二大塊就是我們要見識幾個基本初等函數。函數有千千萬萬種，我們初中學過了直線、抛物線等，高中就是再多見幾個而已。因此，我們選取比較有特色的三個，指數函數、對數函數、幂函數。我們要按照概念與性質的順序，分别了解這三種函數。

最後，函數了解了概念性質、見過了經典的例子，又該籠統研究一下所有函數跟坐标軸之間的關系了，這是把函數圖像具體“釘” 在坐标軸上，我們隻要研究函數與x 軸之間的關系，這就是零點問題。零點問題在這裡，還是繼續強調，有圖像才有得解。這些都學完後，我們數學的很多章節都會有數學知識在日常生活中的應用，函數也不例外，因此我們需要了解一些函數模型在生活中的應用。這個非常廣泛， 比如市場上賣菜、比如建築上修橋修路，都會用到函數模型，高中階段我們隻簡單涉獵一點就可以，不是高考重點。但是，學而用之，應該是你學習所有知識的最終歸宿，這個習慣高中階段或許你沒有時間養成，但是到大學以後，務必時刻遵循這個原則，學完知識要知道應用在現實生活的方方面面。接下來，我們看一下函數概念與性質的總體知識樹，（這裡不必看細節）。概念與性質分區非常明顯，概念包括三大要素，定義域、解析式和值域，性質主要是 4 大性質，從考察頻率來排序就是單調性、奇偶性、周期性、對稱性，至于反函數，講的是函數關于y=x 對稱的一種特殊情況，我們在這裡一并介紹一下。總圖看起來是不是非常龐大？但是知識點并不算難，一點一點梳理之後你的大腦就會非常清晰了。

讓我們先來梳理函數的概念，剛才已經說過好幾次， 就是 3 大天王，不，是 3 大要素。定義域、解析式和值域。

先從定義域開始，我們直接上幹貨，求一個函數的定義域出題點就是圍繞 3 個符号，分數線、根号、對數。這三者出現的時候，分數分母不能為零，根号内部必須≥0，對數函數的真數必須＞0。高考題不可能一種出一道題，所以最常見的就是三種符号同時出現，這時候務必細心，必須三個條件要同時滿足。所以，這裡我建議要記住個數，比如定義域要記住有 3 種符号，每次做題都要把 3 個符号過一遍，題目裡發現一個就标出一個，這樣就不會遺漏了。定義域這裡還有一個小知識點，就是抽象函數定義域求法，這裡要明确一個事，就是定義域的定義！定義域永遠是當下函數内自變量（也就是x）的取值範圍，比如 f（x）的定義域指 x 的範圍，f（2x-3） 的定義域，指的也是它裡面那個 x 的範圍。可能你做函數最怕遇到抽象問題，那麼這裡有一句口訣供你使用。抽象函數定義域問題，隻要記住：“在同一個函數法則下，小括号内的東西範圍是永遠一樣的”！舉個例子，f（x）定義域為[1,3],求 f（2x-3）的定義域，按照口訣， 這兩個函數都是f 法則，法則一樣，所以小括号内的東西範圍一緻， f（x）小括号内隻有 x，所以小括号的範圍就是[1,3]，f（2x-3）呢， 小括号内的 2x-3 就應該在[1,3]内，所以 1≤2x-3≤3，解出來 x 的範圍就是f（2x-3）的定義域了。

這裡小小總結一下，函數部分我們做出知識樹，就是防止你在做題的時候還是想起來什麼用什麼，現用現想。你要知道一共有幾種情況，而題目裡出現的是哪種情況，養成這種嚴謹的思維習慣，數學才能循序漸進的提高。因為做數學題，很大程度取決于你思維的嚴謹程度，函數這塊就非常側重考察這個能力，加上知識點細小又抽象，經常把各種知識點混合在一起考，如果沒有知識樹梳理，你就會想起這個點，卻忘了那個點，永遠想不全。有沒有戳中你？哈哈，不必急着回答我，可以默默流淚。現在我把各種情況都給你了，并且梳理了， 你就沒有理由再想不全了，對不對？

接下來，我們要研究第 2 個要素，解析式。這裡圖像比較大，所以單獨放一頁。解析式仿佛沒什麼可說的，我想在學校課堂上，或許老師也都是一帶而過的。但是，這裡才是我說的“畫圖王道”的開始，我不會重點訓練你對解析式的計算，a b 啊，x y 啊， 太抽象了，越研究就越抽象，越研究也越“抽筋”。我現在要開始訓練你看着解析式畫圖的能力，因為最終解題關鍵是要歸結到圖像上面的。我們先了解幾種基本函數圖形的畫法：

1、直線。直線覺得誰都會畫是不是？直線到底能怎麼畫？想過嗎？那我們就徹底歸納一下，直線到底有幾種？4 種對吧？增的，減的，斜率不存在的，斜率為 0 的。為什麼直線我要講這麼細，你可能覺得沒必要，但是等你開始解直線和圓的問題的時候，解圓錐曲線問題的時候，回想一下，多少次都被讨論直線斜率是否存在坑了？經常不知道什麼時候讨論直線斜率呢？為什麼總是忘記讨論呢？就是因為從一開始，你對直線的認知就不全面，覺得太簡單，從來沒總結過。現在我們就總結一下，直線一般有 4 種存在的形态，兩種斜的形态是最常見的，橫平和豎直是特殊情況，尤其是豎直時，斜率k 不存在。在函數這裡就養成對各類圖形全面思考的習慣，以後做大題才知道為什麼要讨論，因為我隻要遇到直線的時候，就會先想到它有 4 種形态， 再根據題目判斷，到底可以使用的是哪幾種。通常情況下 k 存在的我們歸納為一類，k 不存在的單獨為一類。這樣以後再遇到直線讨論問題，你是不會忘記的，因為你看見直線的第一眼，就在考慮它的形态可以屬于哪類。

2、抛物線。這個都非常熟悉了，y=ax² bx c，分 2 種，開口朝上（a＞0）和開口朝下（a＜0）。其他确定圖像位置的有對稱軸x=-b/2a,還有△=b²-4ac，△＞0 則圖像與 x 軸有 2 個交點，△=0 則圖像與 x 軸有 1 個交點，△＜0 則圖像與x 軸沒有交點。

3、反比例函數。這個也分 2 種情況，k＞0，就是左圖，k＜0 就是右圖。

4、對勾函數。f（x）=ax b（a＞0，b＞0），這種函數圖像也非x常常見，要按照圖例學會畫出來。

5、帶絕對值的函數。我們這裡以 y=丨x 丨為例，推演到所有外部帶絕對值的函數圖像畫法，就是把 x 軸下方的部分，對稱着翻折上去。

再總結 2 個畫圖規則

（1）f（x）與f（-x）圖像是關于y 軸對稱的。

（2）f（x）與-f（x）的圖像是關于x 軸對稱的。

最後，我們畫的很多圖像還需要左右上下移動，那麼口訣再複習一遍：上加下減，左加右減。這裡的上下移動是指對整個函數的y 值進行加減，而左右移動是指對 x 本身進行加減。不要覺得自己很熟悉， 這裡很容易掉進坑裡，舉個例子，y=ln（2-x）圖像是由y=lnx 圖像是如何移動得到的？首先 y=lnx 關于 y 軸對稱，可以得到 y=ln（-x） 圖像，那繼續怎麼挪動可以得到 y=ln（2-x）圖像呢？向左還是向右？ 其實是向右對不對！y=ln（-（x-2）），隻有這樣才能得到 y= ln（2-x）。所以這些細節都是需要反複練習的地方。函數概念的第 3 個要素是值域，這個不用過多介紹，就是定義域和解析式确定了，值域自然有，畫圖更清晰~

概念清晰之後，我們來看看函數的 4 大重要性質吧。第一個單調性。這是函數最最重要和高頻使用的性質了，我們

按照三步走來思考如何求一個函數單調性。首先拿來一個函數，第一步你一定會想這個函數我是否熟悉，是不是簡單函數，比如直線，抛物線，他們的單調性你都不需要多想，圖像非常熟悉，在腦海裡就畫出來了，然後直接說出單調性。這裡二次函數的單調性要強調一下， 二次函數的單調性問題主要看對稱軸在要求的區間裡面還是外面，如果對稱軸在給出的區間内部，則這個區間内函數不單調，如果對稱軸在給出的區間外，則函數在這個區間内就單調。這就是我們常說的動軸定區間和定軸動區間的問題。另外，還有一個小結論務必記住，有一類題目是求在某個區間内，二次函數的函數值≥0 或者≤0，這時候不要考慮對稱軸和△了，直接讓端點的函數值同正或者同負即可求出你想要的參數範圍。

第二步，就是研究稍微複雜一點點的複合函數，比如兩個簡單函數要加減乘除等等，這時候回憶一下口訣：負号會完全改變一個函數的單調性，-減=增，-增=減。如果遇到加減乘除的情況，隻有增 增=增，減 減=減，這兩個公式可以直接使用。這裡如果是增-減呢？ 那就可以轉化為增 增，所以仍為增函數。嵌套式 f（g（x））口訣是：同增異減。就是裡層和外層函數單調性如果相同，那整體就是增函數， 如果裡外不同，那整體就是減函數。第三步，如果是更複雜的函數， 那上面的口訣也用不了了，該怎麼判斷單調性呢？這時候就引出了我們最強大的單調性武器——導數。這裡就變成導數問題了，我們會在導數部分具體講解。不過這裡你要有個基本的印象，導數是為了服務函數而産生的工具。

第二奇偶性。從這裡開始，口訣和公式就越來越少。基本特點： 奇函數-f(x)=f(-x),圖像關于原點對稱，而且 f（0）=0。偶函數f(x)=f(-x),圖像關于 y 軸對稱。複合函數奇偶性呢？還是記住幾句口訣，1、系數不改變函數的奇偶性，比如一個奇函數乘 3 還是½，這并不改變它本身的對稱性，所以還是奇函數。2、奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶無法直接判斷奇偶性。3、f（x）g（x）或者f（x），這g（x）種乘除形式記住同偶異奇。就是兩者奇偶性相同，整體就是偶函數， 兩者奇偶性不同，整體就是奇函數。4、嵌套式f（g（x））口訣是：嵌套遇偶則偶。就是裡層或外層，隻要有一個是偶函數，整體就是偶函數。這幾句口訣務必記住。

第三周期性。周期性隻需要記住這裡展示的最基礎公式，我知道你還學過很多關于周期性的公式，這裡有個好消息，不要背那些了， 因為背也背不準，準了也未必直接用。隻要記得，出現感覺像是周期性的公式，隻要去試裡面出現的常數a 的 2 倍即可，大部分情況下， 最終的周期很可能 2a。舉例-f（x）=f（x 4），給出這個條件，我們猜周期大概會是 8，那就想辦法構造 f（x 8），我們在等式裡面把 x全部換成 x 4，原式就會變成-f（x 4）=f（x 8），而根據原始，-f（x 4）=f（x），所以就得出 f（x）=f（x 8）。周期的确驗證為 8。我們隻需要掌握到這種程度就可以了。

第四對稱性。對稱性更是一個非常抽象的東西。依然隻需要掌握圖中給出的基礎公式，另外掌握一個對稱點的求法，如果求某點關于直線的對稱點，知道有 2 個條件可用，一是兩點連線與直線垂直， 二是兩點的中點在直線上。

函數的概念與性質

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