今天發揚一下科學精神，我們聊一聊正态分布。

1801年1月，意大利天文學家朱塞普-皮亞齊在天空中發現了一顆新星，但這哥們在夜空中出現6個星期、掃過8度角之後，就在太陽光下徹底消失了，再也觀測不到。遺憾的是，當時皮亞齊留下的觀測數據極為有限，所以也計算不出來新星的軌道，天文學家甚至無法确定這顆新星到底是行星還是彗星。不過天文學家雖然搞不定，但有一位數學家卻對這個問題産生了興趣，他就是數學王子——高斯。為了重新發現這顆新星，高斯直接創立了一種全新的星體軌道計算方法，短短一個小時之内，就計算出了星體的軌道，并預言了它在夜空中出現的時間和位置。算的對不對呢？1801年12月31日夜晚，德國天文學家奧伯斯在高斯預言的時間裡，把望遠鏡對準了預言的位置，果不其然，這顆新星重新回到了人類視野，它就是人類發現的第一顆矮行星——谷神星。

皮亞齊

谷神星

如果說高斯之前隻是在數學界如雷貫耳的話，那麼從此開始，高斯在整個歐洲名聲大震。而他所用到的數據分析方法，正是正态分布。事實上，高斯并不是發現正态分布的第一人，但正态分布無疑是因為高斯才被世人所知，于是正态分布也被稱為“高斯分布”。當然了對于高斯這種數學天才來說，他的發現不勝枚舉，一個正态分布算不上什麼大事兒，但後人顯然不這麼認為，因為正态分布确實成為了一個強有力的數學工具，于是我們就發現，在10馬克高斯頭像的旁邊，印的正是正态分布，而不是他引以為傲的正十七邊形。那麼正态分布究竟是個什麼東西呢？不用慌，它其實非常簡單。

10馬克

其實客觀地說，正态分布這個名字起的不是很好，讓人有一種敬而遠之的感覺，當然了這是翻譯的問題，事實上，它的英文非常簡單，就叫normal distribution，你聽聽咱這個蘇格蘭調情發音，直接翻譯過來就是正常的分布，所以台灣省的翻譯就比較直觀了，人家就叫“常态分布”。也就是說，除了正态分布以外，其他分布都是特殊的，隻有正态分布才是一般的、正常的和普遍的，既然如此，它的重要性就可見一斑了。

從形态上看，正态分布就十分簡單，無非就是一條對稱的鐘形曲線，中間很高、兩邊下降，就像一個鼓起來的山包，或是鼓起來的其他東西，你懂的。橫坐标代表随機變量的取值範圍，越往右，随機變量的值就越大，越往左，随機變量的值就越小。而縱坐标則代表概率的大小，最下面的概率是0，越往上概率就越大。如此一來，在曲線上随便找一點，确定它的橫坐标與縱坐标，我們就可以知道這個值出現的概率是多少。由于這條曲線是左右對稱的，所以中間的最高點，就代表平均值出現的概率最大，數據最多，而兩邊呈陡峭下降趨勢，就意味着越是靠近平均值，數據就越多，反之，數據就越少。可以說對于很多數值的統計，都呈現為典型的正态分布，比如說人的身高、體重、智商、考試分數、股票基金收益、公司收入，還比如說節目的收看數量，都符合正态分布，像是咱2049每期節目的播放量，估計就是在這條鐘形曲線的最左邊那部分，那些富有科學精神的，自然就在最右邊，我們知道，左代表無産階級，右代表資産階級，他們是不具備革命性的。當然了這是我胡扯的。

正态分布曲線

好了接下來我們再進一步整點高端的。整體來看，正态分布有三大數學性質。

第一個性質是：均值就是期望值。也就是說，正态分布曲線中間最高點的橫坐标，不僅代表着随機變量的平均值，而且也代表着它的數學期望，這一點已經得到了數學上的嚴格證明，至于是怎麼證明的，打死我也不告訴你。我們知道，數學期望代表着長期價值，而現在平均是又是數學期望，所以在正态分布中，平均值就代表着随機事件的價值。

比如說一個小妹妹和我網聊，在沒有奔現之前，她是不知道我身高幾何的，于是她對我身高的期望值就是174cm，因為174cm正是遼甯省男性的平均身高。還比如說我們常用高考的平均分，來衡量一所高中的教學質量，為什麼，原因也在于平均值就代表期望值，而期望值正代表着随機事件的長期價值，一個學校平均分總是600，那這個學校肯定不會差，但如果它隻告訴你最高分，對平均分避而不談，這就很有問題了。當然了還需要注意的是，隻有在正态分布中，平均值才具有這樣的意義，如果不是正态分布，平均值基本就不能說明什麼問題了，比如說現在10個人組成一個團夥，我、黃博士、潘博士、士、再加5個要飯的和一個比爾-蓋茨，這個群體的個人資産，顯然不呈正态分布，那我告訴你，我們的平均資産是50億美元，就沒有任何意義。

正态分布的第二個性質是：極端值非常少。也就是說，大多數數據都集中在平均值附近，比如說還是剛才網聊那個例子，小妹妹對我身高的期望是174cm，那麼在174cm上下浮動正是我最有可能的身高。同時也正是因為極端值非常少，所以極端值對平均值的影響也非常小，也就是說，正态分布非常穩定，不管姚明和潘長江是不是遼甯人，遼甯男人174cm的平均身高并不會産生什麼變化，除非你像珠穆朗瑪一樣高，但這顯然是不可能的，這還叫人麼？這麼高隻能是科普人。

正态分布的第三個特征是：标準差或是說方差決定形狀。可以發現，正态分布雖然都是鐘形曲線，但形狀是各不相同的，有的會矮胖一些，有的會高瘦一些，而造成這種差異的原因，正在于标準差的不同。高中數學告訴我們，标準差或是方差，可以描述随機變量的波動情況，标準差越大，數據波動越劇烈，反之，數據波動就越平緩。具體到正态分布中也一樣，标準差越大，數據越是分散，波動越是劇烈，鐘形曲線看起來就會更加矮胖。而标準差越小，數據就會更加集中，波動不怎麼劇烈，鐘形曲線就會更加高瘦。當然了這可能與你直觀看上去有點出入，不過你仔細想想我想應該可以想明白，如果絞盡腦汁還是想不明白，簡單，漂亮小妹妹可以來問我，我手把手教給你，嘴對嘴告訴你，那是一發入魂、終生難忘。

總之通過以上三大特征我們可以發現，平均值決定了正态分布曲線的最高點，平均差或是方差，決定了曲線的彎曲度，兩個數據就可以确定曲線的形狀，實在是不知道高到哪裡去了。

好了一個正态分布我們可以對其進行分析，那麼不同的正态分布曲線可不可以進行比較呢？當然是可以的。具體來看就是三種情況，一是方差相同、平均值不同，在這種情況下可以比較好壞，這很簡單，比如說兩所高中的高考分數，标準差一樣，自然是平均分越高，教學質量越高。

第二種情況是平均值相同、方差不同，這種情況可以比較波動，比如有統計顯示，男女智商的平均值是差不多的，但在正态分布曲線上，男性智商的曲線要矮胖一些，女性智商的曲線要高瘦一些，這就說明，雖然整體上看，男女智商沒有高低之分，但男性智商值顯然更加分散，波動比較大，極端數據存在的情況比較多。也就是說，男性智商超群的人要比女性更多，同樣的，傻X也是男人更多，比如說我和黃博士，還有那些特别喜歡擡杠和認死理的鍵盤俠，我看基本都是男性，而在我接觸的無數女性中，我就沒有發現什麼低智商。

第三種情況就是方差和平均值都不同，這就可以比較專業和業餘了。比如說我和許海峰比賽射擊，人家許海峰肯定是9環、10環、11環來回轉，波動十分小，平均值非常高，直觀表現就是正态分布曲線非常高瘦。我就完了，一會1環、一會2環，偶爾還能蒙個9環、10環，有時候還能打到裁判，所以我的成績波動就十分大，同時平均值也非常小，直觀表現就是曲線非常矮胖，恨不得平了。

好了最後一個問題，正态分布這玩意究竟有什麼用？簡單來說就是，它可以為我們提供一個估算個體在整體中位置的便捷方法，像智商、身高、體重、考試成績等，隻要服從正态分布，我們就可以快速得到答案。比如說我表弟今天高考，估分估了560，然後網上就會告訴他預計排名，那麼哪些網站是怎麼做到的呢？你可能會認為，它一定是收集了所有人的估分數據，然後得出答案，其實根本不用這麼麻煩，再說了它也得不到所有人的數據，事實上，它隻要得到一部分數據，然後通過平均值和方差構建出一個正态分布模型，就可以大緻得出560分在全省的排名。還有一個應用我估計你每天都會遇到，這就是在電腦開機的時候，都會告訴你，啊，你的電腦太快了，打敗了全國百分之90幾的用戶，用到的辦法也是正态分布。再見。

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