一道三角形的證明題：
在 ΔABC; AB=AC, ∠BAC=120∘, 且 BC=√5 D 是ΔABC内部的一個點，并且有BD=1和CD=√2
求證：∠ADC=60∘.
證法1：這個思路很直接，就是要求出AD的長度，因為如果知道三邊，可以求出三角形的任意一個角。而要求出AD，就需要求出圖中角貝塔β的餘弦值，因為已經知道它的兩個邊長。而β=30°-α， 所以cosβ=cos(30°-α), 而角α的餘弦可用餘弦定理求得。因此可以求得角ADC。
先求cosα, 在三角形BDC中，有：
1 5-2x1xcosα=2, 解得：
Cosα=2/, 那麼sinα=1/
所以
cosβ=cos(30°-α)
=cos30°cosα sin30°sinα
=/2x 2/ 1/2x 1/
=(2 1)/2
在三角形ABD中利用餘弦定理有：
=5/3 1-2x1x/cosβ, 解得：
AD=(-1)/
最後在三角形ADC中，有
cos∠ADC=( -)/2AD.CD=1/2,
即證出∠ADC=60°
證法2：
将圖形點A反時針旋轉120，B點到C, C到C′, 且 D to D′.
在ΔBCD中根據餘弦定理,
5=1−2√2cos∠BDC 2,
求出cos∠BDC=−√2/2，所以∠BDC=135∘.
這樣我們可以推出∠CBD ∠BCD=180°-135°=45°,
∠C′CD′=∠CBD,
∠BCC′=30° 30°=60°,
由此推出∠DCD′=60°-（180°-135°）=15°.
我們知道利用半角公式:
可以求出sin15°與cos15°
因為CD′=BD=1, 在ΔDCD利用餘弦定理可求出DD′:
随後在ΔDCD′利用正弦定理,
因此求出∠CDD′=30°.
注意到三角形ADD’的頂點為120度，這是由于旋轉的對稱性決定的
即, ∠DAD′=120° 且 AD=AD′，
那麼∠ADD′=30°
所以∠ADC=60°.
證法3：把各點看成複數，選擇：
那麼在這種設定下A的複數：
令ϕ=∠ADC，做兩個複數的除法：
這樣得到：
由此推出：
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