無界數列一定發散，這點是非常肯定的。不過未必每個學過數列的斂散性的朋友，都知道其中的道理：為什麼無界數列就一定發散。
無界數列指的是沒有上界或沒有下界的數列。即數列既沒有上界，也沒有下界，稱為無界數列；數列有上界，但沒有下界，也稱為無界數列；數列有上界，但沒有下界，依然是無界數列。反過來說，有界數列必須同時具有上界和下界。
用數學的語言描述就是：設{an}為數列，若對一切正數M和正整數N，總存在正整數n0>N，使得a_n0>M，則數列無上界；使得a_n0<-M，則數列無下界；使得|a_n0|>M，則數列既無上界也無下界。教材上一般給出有界的定義，然後用否定定義的方法來說明數列無界的。
再來看看發散數列的定義。當數列不收斂時，就發散。同樣的，教材一般也是通過給出收斂數列的定義，然後用否定定義的方法來說明數列發散的。如果要給出發散數列的定義，那就是：
設{an}為數列，對任意的數a，總存在正數ε0，對任意正整數N，總有n0>N，使得|a_n0-a|>=ε0，則數列{an}沒有極限，這時就稱{an}為發散數列。
設{an}是無界數列，求證{an}發散。
證明：不妨設{an}無上界，則一切正數M和正整數N，總存在正整數n0>N，使得a_n0>M，
對任意的數a和某正數ε0，要使|a_n0-a|>=ε0, 由|a_n0-a|>=a_n0-|a|，可以使a_n0>=ε0 |a|，
隻要使ε0=M-|a|，就有|a_n0-a|>=ε0，即{an}發散。
你覺得上面這個證明過程怎麼樣呢？它其實是有瑕疵的。因為ε0是正數，因此必須保證M-|a|>0. 而M是任意正數，也就是說，它可以無限大，是一個無窮大的數。要使M-|a|<0，|a|就要比無限大還大，它自然也是一個無窮大的數。當{an}收斂于無窮大時，它也是發散數列的一種。因此并沒有矛盾。
類似的，也可以證明{an}無下界時的情況。綜合起來，就是{an}無界的三種情況下，都發散。教材上一般是用反證法來證明的。也就是說，教材上通過證明收斂數列有界，來反證無界數列發散。但我們自己證明一下，對掌握這方面的知識，非常有幫助。
歸納起來：無界一定發散，所以無界是發散的充分條件；發散未必無界，所以發散不是無界的條件；收斂一定有界，所以有界是收斂的必要條件；有界未必收斂，收斂不是有界的條件。
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