對于簡諧振動的運動學方程的多種推導方式，有高中教材基于科學探究的方式，也有費曼由動力學常微分方程結合直覺去推理的方式，還有趙凱華老先生基于機械能守恒定律的數學演算方式等等。

然而，簡諧振動的美妙不僅體現在公式的多種推導上，它還有一些奇怪的關系，今天我們就把它們拿來閑聊着說說。

我們已經知道，用來描述振子位移 随時間 變化的關系可以寫成下列正弦（或餘弦）函數的形式，即

不僅如此，我們還也會在書中見到另一個說法，說簡諧振動的運動學方程還可以為表達為下面的複指數形式，即

看到上面這兩種表述，不知大家是否感到奇怪，我覺得至少有兩方面挺奇怪的：

1. 彈簧振子的簡諧振動是個一維問題，而三角函數脫胎于三角學，是個骨子裡有着二維“基因”的幾何問題，一個一維的東西，怎麼會用到二維的表達呢？它們之間是不是有什麼幾何上的聯系呢？

2. 彈簧振子離開平衡位置的位移應該是個實數，表達式中怎麼會出現 虛數 呢 ？

其實這事兒呀，得從歐拉公式和複平面說起。

美麗的歐拉公式

我們先說歐拉公式。歐拉公式一般表達為：

它被稱為數學史上最美的公式之一. 為什麼這麼說呢？因為當我們令上式中的 時，将會得到一個神奇的式子，即 。

它美在哪兒呢？因為它用無比精簡的方式，把最重要的兩個無理數（、 ）、最重要的虛數( )、最重要的兩個元(0、1)、最重要的運算符（ ）以及最重要的關系符（）都聯系起來了。這真的很了不起，讓我們不禁感歎這是否是上帝創世寶典中那珍貴的一頁。

欣賞完歐拉公式，我們這就要看看它與簡諧振動到底有什麼樣的聯系。

複數與複平面上的點

現在請先讓我們關注歐拉公式的等号右邊的部分。大家可以看到歐拉公式右邊是兩項之和，一項是實數 ，另一項是虛數 。 在數學上，我們把這種形如（其中, 均為實數）的數稱為複數。其中 稱為該複數的實部， 稱為複數的虛部， 稱為虛數單位。

我們都知道，任意實數都可以用實數軸上的一個對應點來表示，那麼複數可不可以呢？複數也是可以的。但是呢，複數跟實數不一樣。實數隻需要一維上的點就可以了，而要想确定一個複數，就得同時确定實部和虛部（即 和 ），所以複數必須由兩根數軸構成得一個平面來表示，其中一個數軸用來确定實部的，另一個數軸用來确定虛部的。我們把這樣的特殊平面稱之為複平面 。

這樣，任何一個複數 都可以在複平面上找到一個點一一對應，如下圖所示。

上圖其實用了兩種坐标來表示複數：一種是用點這種直角坐标形式；一種是用點 這種極坐标形式，其中稱為複數的模 ， 稱為複數的幅角。

兩種坐标描述同一件事，那麼這兩種坐标就必須有聯系，對吧。大家很容易看出來，兩種坐标之間的對應關系可以用下面的兩個式子來反映，即

讓這個點轉圈圈

死點沒什麼好玩的，讓它動起來才有意思。比如我們讓這個點勻速轉個圈兒。就像下面這樣的。

由于标出了點的橫軸坐标和縱軸坐标，我們可以直觀看到,在點勻速旋轉的過程中，和在周期性地變化。它們一會兒取正值，一會兒取負值，一會兒變大，一會變小，而且二者的大小變化是相反的，頗有點兒正弦函數和餘弦函數的做派。這可不得了，簡諧振動不就是用正弦函數或餘弦函數表達的嗎？好家夥，是不是隐隐感覺到，勻速圓周運動好像和正餘弦函數有那麼點兒暧昧的味道。

為了更詳細地刻畫這個點的勻速圓周運動，我們用極坐标去表達直角坐标。假設在時刻點處在半徑為的圓周的一個任意位置上，輻角為 ，令設點勻速轉動的角速度為 . 那麼在經曆了時間之後，點轉過的角度值就是。這樣的話，點在經曆任意時間後的直角坐标位置，就應該是

圓周運動與簡諧振動的聯系

哈哈，上邊這式子不就是簡諧振動的表達式嗎？為了直觀看到勻速圓周運動的橫軸和縱軸的變化情況，我制作了下面的這張圖片和動圖。圖片中标示了任意時刻質點的位置坐标在分别橫縱軸上的分量，可以看到，随着時間變化，這些分量在按照正餘弦函數䣌方式在發生着變化。

既如此，我們便可以制作一個動圖，把勻速圓周運動與簡諧振動聯系起來了。就像下面這樣子：

從動中可以看出：

1. 當 點繞半徑為的圓周勻速運動時，它的橫軸和縱軸随時間的變化情況，和簡諧振動是一緻的 ；

2. 振動函數中的 有了實實在在的直觀感覺， 就是對應勻速圓周運動在零時刻時的初始輻角，我們稱之為初相位，也就是質點的初始位置。而 就是對應勻速圓周運動在初始輻角基礎上多旋轉的角度 ；

3. 所謂振幅，其實就是對應勻速圓周運動的軌迹半徑。

在以前學習簡諧振動的時候，由于沒有這樣的動圖輔助理解，導緻我們總是搞不清楚相位和初相位是什麼意思，以及為什麼要取這個名稱。現在好了，有了直觀認知，對概念的理解就能變得更深一些 。

簡諧振動的複指數表示

下面再說說歐拉公式的另一個作用，就是可以用複數來表示簡諧振動。我們把歐拉公式中的 換成 便得到如下形式：

這個式子說明什麼呢？它說明，作為複平面上一點的複數，它的實部或虛部可以用來表示一個簡諧振動。為什麼要這麼幹呢？因為用指數去讨論一些複雜問題時遇到的計算會比用三角函數來得方便，比如阻尼振動、受迫振動等問題。

最後的話

1. 通過上面的閑聊，我們可以看到，歐拉公式就像一個粘合劑一樣，把簡諧振動跟圓周運動連接起來了，讓我們可以建立不同運動類型之間的聯系。而且，歐拉公式也給研究振動問題提供了一個别緻的思路，在某些問題中可以用三角函數去分析，而在另一些問題中也許用複指數會更方便一些。

2. 數形結合的方法一直都是理解物理規律和概念的法寶，有時候一句話難以表達的概念，隻需要一個給個場景，給個動畫，概念的意義就可以輕松被get到，給人一種此時無聲勝有聲的快感。

轉載内容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

來源：小熊慢慢說

編輯：just_iu

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