數的整除性研究?最大公因數和最小公倍數首先我們要了解什麼是最大公因數，什麼是最小公倍數即我們要了解公因數與公倍數的定義，現在小編就來說說關于數的整除性研究?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

數的整除性研究

最大公因數和最小公倍數

首先我們要了解什麼是最大公因數，什麼是最小公倍數。即我們要了解公因數與公倍數的定義。

首先我們來看一下公因數。舉一個簡單的例子，以10與12為例。10的因數有1，2，5，10四個。12的因數有1，2，3，4，6，12六個。我們可以看到10的因數與12的因數都有1，2這兩個因數。那麼1和2就是10與12的公因數。我們可以很輕松的比較出1和2的大小，即我們很容易就能看出2是10與12的最大公因數。

那麼什麼是公倍數？我們以6與10為例。30能夠被6整除，也能被10整除，并且30是6與10的公倍數之一。從上面這個例子，我們可以得出公倍數的定義。該定義為一個正整數能被幾個正整數整除時，則這個正整數就叫做這幾個正整數的公倍數。還是以6與10為例。同樣的60也能被6種除，也能被10整除。通過比較，我們可以很輕松的看出30要小于60，即30是6與10的最小公倍數。

通過以上的兩個例子，我們了解到了什麼是公倍數，什麼是公因數，什麼是最大公因數，什麼是最小公倍數。那麼關于他們還有什麼可以直接使用的理論呢？

我們還是先從公因數說起。當求最大公因數時，我們可以怎麼求呢？第1種方法，我們可以把兩個數分别分解為素因數（有關素因數的定義在上篇文章提到過，這裡就不多做解釋，僅将定義寫出：如果一個正數a有一個因數b，而b又是素數，則b就叫做a的素因數）為了更直觀的展現，我們将以42與14作為例子。首先42=6×7=2×3×7，14=2×7。挑選出其中的素因數，42的2，3，7與14的2，7。可以看出素因數27是這兩個數所共有的，它們的乘積就是這兩個數最大的公因數，即2×7=14。我們再來舉一個例子，以36和48作為例題。36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3我們可以看到素因數2，2，3事這兩個數所共有的，他們的乘積就是兩個數的最大公因數及2×2×3=12。

第2種方法叫輾轉相除法，同樣的，我們以一個例題來作為論證的直觀表述。求6731和2809的最大公因數。我們可以很直觀的感覺到這兩個數分解出所有素因數的難度較大。那麼這個時候就是我們使用輾轉相除的方法。首先我們用6731÷2089，我們可以得到答案是2餘1113。這時我們2809÷1113，得到的答案是2餘583。依照上述方法，我們再用1113÷583，得到答案是1餘530。再次進行相除運算，583÷530，得到答案是1餘53，在進行除法運算，用530÷53，得到一個整數解10，我們就可得出6731與2809的最大公因數為53。看起來輾轉相除法有一些麻煩，但是如果我們真的用尋找素因數法去做這個題的話，我們将會花費更多的時間去尋找這些數的因數。所以在面對一些數字較大的兩個數求公因數的時候，我們最好是選擇輾轉相除法，除非它有特别明顯的特征，讓你一眼就可以找到它的所有素因素。

講完公因數我們再來講公倍數。同樣的，我們仍是以例題的方式介紹，如何去尋找多個數的最小公倍數。在面對最簡單的一種情況，在多個正整數中，最大的正整數是其他各個正整數的倍數，那麼這個最大的正整數就是這幾個正整數的最小公倍數。但如果我們面對的情況不是這種理想情況，那應該怎麼辦？第1步尋找這些正整數裡面是不是任意兩個數都是互素的（兩個數滿足互素的條件是這兩個數的最大公因數為1）如果是，那就将這多個數累積相乘，就能得到其最小公倍數。如果這多個數中有不滿足上述條件。即不是任意兩個數都是互素的，就可以使用如下公式。124871與3468為例，首先我們可以使用輾轉相除法，求得12487 1與3468的最大公因數。之後用這兩個數相乘，然後再除以它們的最大公因數就可以得出它的最小公倍數24871×3468÷17=5073684。

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