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線段和角經典題型
線段和角經典題型
生活
更新时间:2025-04-04 11:30:12
線段和角經典題型?,我來為大家講解一下關于線段和角經典題型?跟着小編一起來看一看吧!
線段和角經典題型
歐幾裡得(公元前330年 —公元前275年)的《幾何原本》,是一個嚴謹的借助演繹推理展開的系統。它從定義、公設、公理出發,一步一步地推證出了數百條幾何定理。這一傑作展示了邏輯的力量,顯示了人類理性的創造能力。所謂的數學定義、公設及公理(現代數學認為是一樣的)就是數學家對數學對象的性質的約定。從其看來,數學定義和公理也不必要非得是真理。由此也天生注定,數學定義及公理與自然本真規律之間存在有“縫隙”,在以後的邏輯推理過程中,難免遇到過不去的“坎”。從“數”的發展與完善過程中,就可以看到這種“跨縫”“過坎”的痕迹——從有理數→無理數→虛數(複數)→無窮(實無窮/潛無窮)等。例如虛數的出現,就是因為在表示一元三次方程的根式中出現了負數開方的形式,沒法推下去了,才糾結地把負數開方根作為數與其它數一起參與運算的。
亞裡士多德(公元前384年—公元前322年)開創了形式邏輯學。它是建立在三大定律之上的邏輯形式,即:同一律、(無)矛盾律和排中律。所謂的同一律就是事物隻能是其本身即A=A。由此推之,線段隻能由線段構成,不能由别的點來構成。另外,《幾何原本》中定義:
點是沒有部分的那種東西(即沒有長度,是0)
。如果點的長度是0,加起來豈不還是0?怎麼能構成有長度的線段呢?這明顯與邏輯發生了矛盾,似乎看起來說不通,是不成立的數學命題。
按照同一律的規定,線段是由很多“無窮小”的“線段”構成的,這肯定沒毛病。那麼如何來界定“無窮小”呢?曆史上走過了一百多年。剛開始時,為研究運動物體的“瞬時速度”,17世紀時,微積分學的創始人著名數學家牛頓(1643.1.4—1727.3.31)把“瞬時速度”描繪成是無窮小時間内所走的無窮小的距離之比,即“時間微分”與“距離微分”之比。牛頓所想的無窮小是所想的變量在變成0之前的那個狀态,實質上是個“實無窮”概念,這是牛頓的一個含糊不清的表達。由此,也遭到了唯心主義哲學家貝克萊的攻擊,這就是數學史上所謂的‘第二次數學危機“。直到19世紀,數學家柯西(公元1789年—1857年)建立了一套嚴格的ξ-δ語言來說明什麼叫做變量的極限,即無窮小。微積分學才有了牢不可破的邏輯基礎。極限理論實質上是個“潛無窮”概念的運用,即所想變量在變成0之前是一個函數,是一個變化過程,是無窮多的一串數,而不是一個數。它沒有起點,也沒有終點,前後數永遠不相同的一個變化過程。用數學語言表達則是:
如果函數F(x)當x→x。時的極限為0,這時函數F(x)叫做x→x。時的無窮小。
根據極限的定義,我們可以證明:
0
是可以作為無窮小的“
唯一的數”,
因為如果F(x)≡0,那麼對于任意給定ξ>0總有|F(x)|<ξ。從此意義上看,0與無窮小有“質”上的相同。由數可以推之,
點
可以看作是“無窮小線段”的
“唯一幾何表達”,
在“質”上是相同的。因此,“線段是由點構成的”的數學命題實質上是符合“同一律”的。把“點”看作是線段的界面和中間表達也是适合的。
康托爾(1845年—1918年)是近代最著名的數學家和邏輯學家之一。他所創立的集合論已被公認是現代數學的基礎。從“一樣多”的合理定義,揭示出無窮集不同于有窮集的特征:
它可以和自已的部分一樣多。
這不符合人們的習慣思維和認知,但這不是否定集合論一樣多定義的理由。因此,在有窮世界裡的邏輯思維運用到無窮王國裡就不見得邏輯了。在有窮世界裡,有窮個0加在一起仍是0,這是符合邏輯的,但在無窮王國裡,無窮個0加在一起,從實際效果看,就不是0了,否則,線段就看不見了。這一下子就從數學跑到哲學上去了。試想一下,不管哪個領域,隻要牽涉到無窮,到最後都有點不可思議的感覺。
總之,從邏輯角度分析“線段是由點構成的”數學命題,我個人認為是成立的。
參考文獻:1)《數學與哲學》張景中院士著;2)《高等數學》同濟大學主編。
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