宋秀雲(江蘇省新海高級中學)

摘要：多元表征可以使數學學習對象多角度具體化，加深我們對同一數學對象的認識。在問題解決中應恰當地對問題進行多角度表征，并且善于在各種表征之間進行轉換。這不僅使數學問題解決變得更加容易，并且在解法的多樣化中能加深學生對概念的理解。對于如何提高學生運用多元表征解決問題的能力，給出若幹建議。

關鍵詞：多元表征；圖形表征；符号表征；問題解決；數量積

一、問題提出

一般地，表征是指信息在心理活動中的表現和記載的方式。因此，表征一方面反映客觀事物，代表客觀事物；另一方面，又是心理活動進一步加工的對象。表征的方式不同，大腦對它的加工過程也不相同。在數學領域，多元表征一般是指數學學習對象的多種表征形式。希爾伯特指出，數學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各個部分之間的聯系。數學最為迷人之處是不同分支之間的許多相互影響，預想不到的聯系，有時會奇迹般展現在你面前。從不同的角度對同一數學對象進行多元表征，可以使數學學習對象多角度地具體化，加深我們對同一數學對象的認識。

多元表征不僅适用于數學概念的學習，而且普遍存在于數學問題解決中。一般而言，數學問題解決包括三個要素：問題條件、解題思想方法、策略與結論擴展。從多元表征的視角來說，這三個要素都可以多元表征化。例如，單墫指出，算兩次在數學解題中是非常常見的手法。“算兩次”即用兩種方法計算同一個量，或換一個角度看問題，其實質是将同一個量從兩個不同的角度計算兩次，利用殊途同歸的等量關系達到問題解決的目的。例如，立體幾何中求距離常用等積法、解析幾何中求動點軌迹用交軌法等，都屬于解題方法的多元表征體現。

總之，觀察問題的視角不同、解題的思想方法不同、解題策略的轉換與轉譯以及問題本身呈現的形式不同等，這些都說明了數學問題解決學習中的多元表征無處不在。下面以一道高考題的多角度解決為例，說明多元表征這種認知學習方法對數學解題教學的意義。

三、教學建議

數學問題解決的第一步就是對問題進行表征，表征方式的恰當與否直接決定了問題能否解決。一個恰當的問題表征一般應該滿足三個條件：（1）表征與問題的真實結構相對應；（2）表征中的各個問題成分被恰當的結合在一起；（3）表征結合了問題解決者的其他知識。因此，選擇與轉換不同的表征方式是提高問題解決成功率的關鍵策略。文[3]的調查表明，高中學生解題障礙的一個重要原因就是對問題不能做出适宜的表征，不能在多種表征之間進行轉換。對于如何提高學生運用多元表征進行問題解決的能力，筆者認為以下幾點值得重視。

1.重視樣例教學

哲學家庫恩指出，學生正是通過學習範例，通過做習題等活動來掌握一門科學知識及其方法的，沒有範例，科學知識不能清楚地表達出來，也無法為人們掌握；沒有範例，人們就無法從按照該門科學的要求去解決任何問題，數學當然也不例外。笛卡爾也指出，我所解決的每一個問題，都将成為一個範例，以用于其他的問題。由于問題表征是一種程序性知識，很難言傳，必須借助典型樣例使其顯性化，所以教師應該精心設計樣例，讓學生從樣例中學習，掌握很多具體的實例，才能真正地理解抽象的内容，才能真正地感知數學，再經過不斷反複練習，使其系統化、自動化，解題時才能輕松自如。當然這裡所說的樣例、練習也不能無限擴大為“題型 技巧”的題海模式。

2.訓練學生借助外在表征的習慣

數學問題的外在表征分為文字表征、符号表征、圖形表征等。從本案例可以看出，在多種表征之間進行有效轉換對解題是極為關鍵的。要培養學生借助外部表征進行問題表征的習慣，首先要讓學生認識到問題表征在解題中的重要性，強調審題的決定性，拿到問題不要急于去制定計劃，應反複審明題意，進而恰當表征問題。

其次，在知識的講授過程中，要注意概念的發生、發展過程，盡可能用不同方式對知識進行表征。例如，函數的單調性就應從圖形表征（函數圖象）、文字表征（語言）、符号表征（數學符号）這三個維度來進行刻畫，使學生對概念的認識變得立體，進而在解決較複雜問題時能進行各種表征之間的有效轉化，找到解題突破口。

3.提高學生的元認知技能

元認知技能就是個體對自身的認知過程進行監督、調節和協調的能力。具有較好元認知技能的學習者，能自動地控制和掌握自己的認知過程，他們在面臨新的問題時，能主動尋求當前問題與已有經驗之間的聯系，并運用已有經驗對當前問題進行分析概括，尋求表征問題的策略，這方面可以采取的有效方法是利用波利亞解題表中的提示語（如表1），幫助學生對數學問題進行表征。

表1：

參考文獻

[1]徐章韬。多元表征學習視角下的線性回歸方程的多角度推導[J].中學數學研究,2011(11):1-3。

[2]孫衛。基于多元表征理論的解題反思能力培養[J].上海中學數學，2013(1/2):8-9。

[3]王坤。培養高中生數學問題表征能力的教學探索[D].南京：南京師範大學，2004。

[4]唐劍岚。數學多元表征學習的認知模型及教學研究[D].南京：南京師範大學，200８。

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