畢達哥拉斯

古希臘有許多學者熱衷于幾何的研究，甚至有的學者還熱衷于幾何的教學，這為幾何逐漸形成為一門學科奠定了結構基礎，因為教學與研究不同，研究可以是個案地，獨立地進行，而教學則必須相對成體系，要明确概念，要構建前後關系。關于這一點，普羅克洛斯在介紹完泰勒斯的工作之後又寫道：

“畢達哥拉斯繼泰勒斯之後，将這門科學改造為自由的教育形式，首先檢驗其原理，并用一種無形和理智的方式探讨其定理”

關于畢達哥拉斯學派的工作，我們曾讨論過，他們相信宇宙的構造與整數有關，當他們發現√2是無理數時，就把發現者扔到大海裡。關于幾何學，除了畢達哥拉斯定理之外，他們還有一個重要的工作，就是發現并證明了三維空間隻有五種正多面體，如圖（1）所示

圖（1）五種正多面體

這五種正多面體是：正四面體，正八面體，正六面體，正十二面體，正二十面體。

這些結果是重要的，但是，得到這些結果的證明方法則是更重要的。這個證明依賴一個關于多面體點，棱，面的個數之間的一個關系公式，這個公式後來被稱為歐拉公式：在一個簡單多面體中，用V表示頂點個數，E表示棱的個數，F表示面的個數，則歐拉公式為：

V-E F=2 (1)

通過具體圖形的計算，是容易歸納出這個公式的，但是要證明這個公式還是需要相當的思考。在歐拉公式的基礎上，證明隻存在五種正多面體就比較容易了，我們證明如下。

因為是正多面體，因此，每個面都是相同的正多邊形，設每個面是正n邊形；交于每個頂點的棱的個數是相同的，設為m。先用面來計算棱數，因為每條棱屬于兩個面，可以得到

Nf=2E

再用頂點來計算棱數，因為每條棱有兩個頂點，可以得到

mV=2E

代入（1）式可以得到

2E/m-E 2E/n=2

整理後有

1/n 1/m=1/2 1/E (2)

因為每個面的多邊形至少有三個邊，即n≥3；每個頂點至少有三個棱相交，即m≥3。又因為E為正整數，由（2）式，n和m不能同時為大于3的數，否則（2）式的左邊将不可能大于1/2。這樣

當n=3時，m=3，4，5，E=6，12，30，對應正四面體，正八面體，正二十面體

當m=3時，n=3，4，5，E=6，12，30，對應正四面體，正六面體，正十二面體

這樣就得到了畢達哥拉斯學派的結論：三維空間隻有五種正多面體。我們不知道畢達哥拉斯學派是如何得到這個結論的，但有一點是可以肯定的，就是他們已經能夠清晰地分辨出什麼是正多面體，以及正多面體的頂點，棱和面，并且能夠直觀地得出一些涉及這些概念之間的關系式。

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