數學培優——完全平方公式

完全平方公式指的是乘法公式(a±b)2=a2±2ab b2，該公式除了用于計算多項式乘法運算外，還應注意了解它在其他方面的運用，尤其是公式的逆向運用(因式分解）及變形運用.

（一）逆向運用：a2±2ab b2=(a±b)2；

（二）公式的變形：

1.a2 b2=(a b)2-2ab；

2.a2 b2=(a-b)2 2ab；

3.(a b)2=(a-b)2 4ab；

4.(a-b)2=(a b)2-4ab；

5.(a b)2-(a-b)2=4ab或4ab=(a b)2-(a-b)2.

例1 已知a b=3，ab=1，求下列各式的值.

（1）(a 1)(b 1)；

（2）a2 b2；

（3）a-b.

解：（1）原式=ab (a b) 1

=1 3 1=5；

（2）由變形1，得：

a2 b2=(a b)2-2ab

=32-2×1=7；

（3）由變形4，得：

(a-b)2=(a b)2-4ab

=32-4×1=5，

所以a-b=±√5.

例2 計算:(3x 2y)2-(3x-2y)2.

解：由變形5，得：

原式=4∙3x∙2y=24xy.

例3 已知x2-4xy 5y2 6y 9=0，求x，y的值.

解：已知等式化為：

(x2-4xy 4y2) (y2 6y 9)=0，

所以(x-2y)2 (y 3)2=0，

所以x-2y=0且y 3=0，

解得：x=-6，y=-3.

例4 已知x2 x-2=2，求x x-1的值.

解：設x x-1=y，

y2=(x x-1)2=x2 x-2 2x∙x-1

=2 2=4，

所以y=±2，

所以x x-1的值為2或-2.

例5 設x>y>0，且x2 y2=13，xy=6，求x，y的值.

解：因為(x y)2=x2 y2 2xy=13 12=25，

又因為x>y>0，

所以x y=5；

因為(x-y)2=x2 y2-2xy=13-12=1，

又因為x>y>0，

所以x-y=1；

聯立x y=5和x-y=1，解得x=3，y=2.

例6 已知a√(1-b2) b√(1-a2)=1，

求證：a2 b2=1.

證明：由變形2，得

[a-√(1-b2)]2=a2 1-b2-2a√(1-b2)，

[b-√(1-a2)]2=b2 1-a2-2b√(1-a2)，

兩式相加，得

[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2=a2 1-b2-2a√(1-b2) b2 1-a2-2b√(1-a2)

=2-2[a√(1-b2) b√(1-a2)]，

因為a√(1-b2) b√(1-a2)=1，

所以[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2=2-2×1=0，

所以[a-√(1-b2)]2=0，且[b-√(1-a2)]2=0，

所以a=√(1-b2)，

兩邊平方，整理，得：a2 b2=1.

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