以等邊三角形ABC的BC邊為直徑作圓，交AC于點D，DE⊥AB于點E，連接OE，且AE=1（如圖）
（1）求證：DE是⊙O的切線。
（2）求線段OE的長度。
【思考】
i）首先來回顧一下切線相關的知識點：
切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。
根據這兩條定理，我們就可以得到證明圓的切線的一般思路：
方法1、連半徑，證垂直
方法2、作垂線，證半徑
由于點D是圓上一點，我們可以連接OD，證明OD⊥DE即可。
ii）如何證明OD⊥DE？如果OD⊥DE，根據圖中DE⊥AB，可得OD∥AB.
iii)如何證明OD∥AB？如果OD∥AB，由于OB=OC,可知OD為△ABC的中位線（連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線）隻要求出點D 是AC中點即可。在等邊△ABC中考慮三線合一，BD是中線、垂線、角平分線。易證垂直。BC是圓的直徑，對應的圓周角是直角。反推可證DE是切線。（也可利用同位角相等證明平行，△OCD也是等邊三角形）
iv）求OE的長度，根據第一問可以知道在Rt△ODE中，可以利用勾股定理求得斜邊長。在Rt△ADE中，AE=1，∠ADE=30°，30°角對應的直角邊等于斜邊的一半。可以求出AD=2，DE=√3，OD=OC=AD=2
求得OE
【過程】
（1）證：連接OD，BD。
∵BC是⊙O直徑。
∴∠BDC=90°（直徑所對的圓周角是直角）
∴在等邊△ABC中AD=DC（等腰三角形中三線合一）
又∵OB=OC（均為半徑）
∴OD是△ABC的中位線（點O、D分别為BC、AC的中點）
∴OD∥AB（三角形的中位線平行于第三邊，其長度為第三邊長的一半）
∵DE⊥AB
∴DE⊥OD（垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一條直線）
∴DE是⊙O的切線。（經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）
（2）在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=1
∴AD=2,DE=√3（30°的角對應的直角邊等于斜邊一半及勾股定理）
在△OCD中，
∠C=60°，OC=OD=DC=DA
∴OD=2
在Rt△ODE中
∴OE=√（OD^2 DE^2)=√7
【反思】
對于證明題，有時候我們無從下手，可以根據證明結果反推求得。前提是記住各種性質定理，能夠熟練運用。希望同學們多多練習，熟練運用。
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