通過對近幾年中考數學題的分析可以發現，在中考中頻繁出現考查分式方程無解的題型.然而很多學生在碰到無解的題型時往往會有些自我懷疑，擔心分式方程無解是由于解題過程不正确導緻的，會重複計算，這将會浪費大量的時間和精力.如果我們在實際解題中能夠正确地應用分式方程無解的性質，有助于有效提高我們的解題效率，更加清晰地認識題目，從而解決其他的問題.因此，下面我們将借助幾道例題對分式方程無解題型進行詳細的分析和探讨.

一、分式方程無解的含義

分式方程無解是指無論取何值都不能滿足分式方程等号兩邊相等，分式方程無解主要有兩種情形：一是原分式方程在等号兩邊同時乘最簡公分母化簡為等式方程後，等式方程無解；第二種情形是在分式方程化為等式方程後，整式方程有解，但是這個解卻讓原來的分式方程分母為0，這個解就叫作分式方程的增根.

二、例題分析

例1 解方程

解 在分式方程兩邊同時乘(x 2)(x-2)，

得2(x 2)-4x=3(x-2).

根據題意解這個方程，得x=2.

x=2代入原方程可知，當x=2時，原分式方程的分母為0，此時分式方程沒有意義，因此，x=2是原分式方程的增根.沒有數值使原分式方程的成立，因此，原方程無解.

分析 首先我們對原分式方程進行觀察，由于分母不能為0，因此，可以直接看出分式方程中未知數的取值範圍為x≠2且x≠-2，但是在對原分式方程化為整式方程時，未知數的取值範圍有所擴大，可以取全體實數，然而整式方程未知數定義域下所求出的值恰好不滿足原分式方程定義域，使得分母為0，此時所求出的未知數的值就是原方程的增根，故原方程無解.

例2 解方程

解 首先對分式方程進行整理，兩邊同時乘最簡公分母(x 2)，得x-1=3-x 2(2 x).

整理等式可得：0x=8.

因為這個整式方程無解，所以原分式方程也無解.

分析 這種分式方程在轉化成整式方程後，整式方程無解，那麼原分式方程肯定同樣無解，所以方程無解和有增根是兩個不同的概念，分式方程無解并不一定有增根産生.

例3 如果方程

無解，那麼m=________.

解 原方程

将分式方程轉化為整式方程，等号兩邊同時乘(x-2)，

得x-3=-m.

解等式x=3-m.

由于題目提到原方程無解，所以這個解應該是原分式方程的增根.即x=2，也就是2=3-m，

解得m=1.

因此，當m=1時，原分式方程無解.

分析 因為此題是将分式方程轉成一元一次方程，但是這個一元一次方程隻有一個根，所以說如果這個根是原分式方程的增根，那麼原分式方程無解.但是我們要注意分式方程有增根并不代表一定無解，随着我們學習内容的進一步深入，會理解其中的原理.

例4 當a為何值時，關于x的方程

會産生增根？

解 讓分式方程兩邊同時乘(x 2)(x-2)，

得2(x 2) ax=3(x-2).

整理得(a-1)x=-10.

如果原分式方程有增根，那麼x=2或-2是方程①的根.

将x=2或者-2代入方程①中，

可以解得，a=-4或6.

分析 在解答這類題時首先要将分式方程轉化成整式方程，然後解整式方程，并滿足原來的分式方程分母為零的數值，這個數則是原分式方程的增根.将增根代入轉化後的整式方程，然後将原來方程中含字母的值求出來.

如果将此題中的“會産生增根”改為“無解”，這時候還要考慮轉化後的整式方程(a-1)x=-10本身無解的情況，具體解法如下：

解 方程兩邊都乘(x 2)(x-2)，

得2(x 2) ax=3(x-2).

整理得(a-1)x=-10.

如果原來的分式方程無解，那麼有兩種情況：

(1)當a-1=0，也就是a=1時，方程②為0x=-10；

(2)假設方程②的解正好是原來的分式方程的增根，那麼原來的分式方程沒有解.如果原分式方程有增根，增根為x=2或-2，把x=2或-2代入方程②中，可以得到a=-4或6.

綜上所述，a=1或a=-4或a=6時，原分式方程無解.

三、結束語

總之，原分式方程無解這種題型在中考時經常考查，需要我們認真總結和分析分式方程無解的情形，掌握分式方程無解和分式方程有增根的含義與區别.解分式方程有增根即解轉化後的分式方程的值滿足原分式方程分母為0，分式方程無解則有原分式方程無解和轉化後的整式方程無解兩種情況，包含有增根的情況，需要具體問題具體分析.同時也要認真總結，針對不同題型采用不同方法，匡正解題思路.

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