小學二年級就開始學習帶餘除法了，這時候總會聽到老師一次又一次地反複強調：餘數一定要小于除數。

為什麼餘數一定要小于除數？如果等于或者大于除數會産生什麼結果呢？小時候你向老師提過這樣的問題嗎？你的孩子再問到這個問題時，你又會和孩子怎麼解釋呢？

很多爸爸媽媽自己也不太明白，不知道怎麼跟孩子解釋這個定理，隻能用“數學課本上就是這麼規定的”、“我也不太清楚”來敷衍了事，這樣隻會打擊孩子的求知欲望。

也有小學數學知識依舊在線的爸媽可能會說：因為餘數大于除數就可以再繼續分。

這樣的解釋不錯，但是不夠嚴謹。

正确答案是：為了保證不完全商的唯一性

這麼高深又枯燥的語言，孩子怎麼聽得懂？

既然不容易說出來，不如試着做出來。

素材很簡單：隻要有足夠多的火柴棍就可以（或者小糖果）

先用4根火柴圍成一個正方形做個示範。問問孩子有8根同樣長的火柴，可以擺幾個這樣的正方形？孩子很容易就能答出來：能擺2個正方形。

如果是 9根、10根、11根、12根呢，也像這樣擺正方形，分别可以擺幾個？這裡有些數字不能被4整除，不屬于孩子熟悉的表内除法，可能一時答不出來，不如讓孩子動手擺一擺，驗證一下自己的想法。

進行過幾輪這樣的遊戲之後，孩子就能逐漸感知每一輪遊戲的變化規律：

當火柴棍是8根時，正好可以擺2個正方形。而火柴棍是9、10、11根的時候也隻能擺成2個正方形，因為剩餘的1根、2根、3根火柴都不足以擺成一個完整的正方形。

但是用12根火柴時，12比8多出來4根，這4根又可以擺成一個正方形，沒有剩餘的火柴。

用算式可以表示為：

9÷4=2……1（根）

10÷4=2……2（根）

11÷4=2……3（根）

12÷4=3……餘數為0

為了讓孩子進一步感知餘數與除數的關系，接下來再讓孩子動手擺一擺三角形和五邊形。

對比每一輪的剩餘數之後會發現：同樣是10根火柴，擺正方形的話，可以擺兩個，剩餘2根火柴；擺三角形的話，就可以擺3個，剩餘1根火柴。意味着餘數夠不夠湊成一份，要看具體除數是多少。

通過這樣的操作和比較，孩子就可以初步理解餘數與除數的關系：

如果餘數比除數大了就還能再分。餘數隻要滿4，就又可以擺成一個正方形，意味着商就要多1。同樣的餘數滿3、餘數滿5，也意味着商要多1，所以餘數要小于除數。

還可以拿生活中的情景作解釋，有8顆糖要分給爸爸媽媽兩個人，有很多種分法：

可以每個人分得1個，剩餘6個；還可以每個人都分得2個，剩餘4個，還可以每個人都分得3個，剩2個，還能每個人分得4個，一個不剩。

從生活的角度去看待這三種方式，每一種分法都是合理的，但是抽象到數學問題的話，它的計算結果不确定，會給計算帶來麻煩。

我們在文章開頭也提到了“餘數大于除數就還能夠再分”這個說法并不嚴謹。所以就有了帶餘除法的概念規定：

如果正整數 a 除以正整數 b，不能得到整數商，設a最多包含 q 個 b，也就是說 bq＜a＜b（q＋1）， 那麼整數 q 叫做不完全商，a 與 bq 的差叫做餘數。顯然，在帶餘除法中，有如下性質：

✅餘數必須小于除數，即 r＜b；

✅不完全商與餘數都是唯一的。

從概念規定裡，可以發現為了保證商和餘數的唯一性，也就是一個有餘數的除法算式裡，隻能有一個商和一個餘數。這樣一來，保證了計算結果的唯一确定性。

“餘數一定要比除數小” 是一個十分重要的概念 。它既能保證不完全商的唯一性，又是帶餘除法中求商規律的重要依據。因此，讓孩子從多方面感知、理解掌握餘數為什麼要小于除數的道理，後面用豎式計算有餘數的除法時才能更加自覺地監控餘數，并根據餘數靈活試商。

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