第一講 代數部分總綱

——從數的分類談起

我們學習數學是從最基本的數字開始的，小學六年對于數有許多的分類：整數、小數、分數、自然數、素數（質數）、合數等等，還接觸到了負數的概念，但是這些内容都是雜亂而不成體系的。

這裡我要吐槽一句：很多同學上到初三乃至于高中還是被小學的這點東西所桎梏：做到個題目算出來是個小數、分數就覺得不對勁，算出來帶根号就覺得自己錯了。這樣的思維要不得！

進入初中之後的第一件事就是讓雜亂無章的數字分類形成體系。我們來看數的分類：如下圖

我們将現階段所有的數統稱為實數，并且引入了數軸的概念，利用數軸我們可以更好地來理解數的分類。在如下圖這根數軸上面标出來的點都是整數，在整數和整數之間的點則可以是分數（如）也可以是無理數（如）。我們可以得出結論：實數和數軸上的點一一對應。

通過數軸我們就可以更加清晰明了地看到數的分類，也可以知道分類其實還有另外一種思路：我們可以先分正負，再分其他類型。如下圖：

從兩張圖中我們可以看到不論是先分正負還是後分正負，0都是必須要單獨拎出來的。這也是我們在做題過程中必須注意的，0既不是正數也不是負數。

在明确了實數的分類的基礎上我們就可以來整理代數式的分類，之後再進一步将初中數學的代數部分的脈絡理清，由此可以初步形成一張知識的網絡。這樣我們可以從整體上來把握初中數學的内容，複習的時候也能夠事半功倍。

先來看代數式，用字母代替數就叫做代數式了。僅我們學過的代數式而言，分類也很簡單：

将實數的分類與代數的分類對比來看，我們可以看到整式對應了整數、分式對應了分數、二次根式則對應了無理數。實際上應該是無理式對應了無理數，但我們隻學了二次根式，所以這裡不多做拓展。這樣的對應很好理解，本來代數式就是用字母來表示數，當然逃不脫數的分類那幾種。

現在我們已經了解了代數式的分類，我們可以回過頭來再想想，用字母表示數有什麼好處呢？這又是一個怎樣的思維過程呢？

上面這兩個問題不難回答，這也是我平時常常跟同學們講的：從特殊到一般的思維。代數式的好處顯而易見，大家最有體會的應該是各種圖形的面積公式。比如三角形的面積：ah ，我們隻要有這個公式在手，任意的三角形面積都可以進行計算，而不必局限于底為2，高為3的這一類三角形。這樣對于某一類型的問題，我們就可以用代數式來寫出一個類似于公式的式子，這樣解決問題就方便快捷的多啦。

還是以三角形的面積來舉一個簡單的例子：現在有一個三角形面積為6，它的一條邊長是2，求這條邊上的高是多少？

我們根據三角形的面積公式就可以直接列出式子ah=6，然後再根據題幹把a=2帶入上面的式子就可以得到×2×h=6這樣一個方程，最後解方程即可。

在這個解題過程出現了方程，我們從中知道從代數式到方程，便是從一般到具體的思維。同樣的方程的分類也可以和代數式對應起來分為整式方程、分式方程。至于二次根式對應的方程仍舊不在我們初中的學習範圍内。

到這裡，代數部分就還剩一個最令同學們崩潰的函數沒有納入進來了，我們來一鼓作氣把函數也拿下。

函數這東西與方程不能說很像，隻能說是一模一樣。你看一次函數他不就是一個二元一次方程嗎？

二元一次方程：x y=3 一次函數：y=-x 3

長得雖然一模一樣，但是二者在初中階段還是有本質區别滴。函數存在的基礎是平面直角坐标系，一次函數在坐标系呈現出來的是一條直線！方程是一個很抽象的式子，但是在坐标系中它竟然具象化成為了一條直線！由此我們知道從方程到函數是一個從抽象到形像的過程。

到這裡，我們對于代數部分的内容在整體上就有把握了，上面這張圖也算綱舉目張了。那麼第一講就到這裡，接下來的細節，我們第二講再見啦。

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