上回我們說到，愛因斯坦通過非凡的思想實驗，将引力的作用效果和時空結構等價了起來，他認為我們感受到的引力，隻是時空發生了彎曲。彎曲的時空決定了物質的運動軌迹，所以我們就産生了有引力作用的錯覺。

那麼愛因斯坦接下來需要做的就是建立一個彎曲時空的引力理論。彎曲的時空？這有點違背人們的直覺，我們能感受到的空間好像是平坦的，沒有彎曲，至少我們看不見空間是彎曲的。

這就是愛因斯坦的過人之處，能夠撇開直覺的影響，僅憑思維就窺見出事物背後的本質，在他研究彎曲空間的時候，由于愛因斯坦的數學能力有限，他就找了大學同學格羅斯曼，格羅斯曼是非歐幾何方面的專家，他就建議愛因斯坦關注下黎曼幾何，可以解決彎曲空間的問題。

除此之外，愛因斯坦還專門花了一年的時間，在大學裡惡補了微積分。這才有了廣義相對論的數學形式，而黎曼幾何也就成為了廣義相對論的基礎。

為了能夠真正地了解時空的彎曲，我們需要知道人類對空間幾何的認識。

人類對世界的認識是從經驗規律開始的，所以直覺在早期的科學發展中起到了非常重要的作用，因此跟大多數的人一樣，數學家、物理學家一開始都認為我們生活在一個平直的空間中，處處均勻、處處平坦。

因此我們的幾何學也是從平直的空間開始，那就是我們非常熟悉的歐幾裡得幾何學，稱為歐式幾何。

歐式幾何堪稱人類早期邏輯思維的典範，它從5條公理出發，經過邏輯演繹推導出了23個定理，解決了467個命題。是人類建立的第一個完整的、邏輯嚴密的公理體系。

前面我們也多次提到，牛頓的《原理》以及愛因斯坦的《論動體的電動力學》在形式上跟歐幾裡得的《幾何原本》是一樣的，定義、假設、推導、結論！

所以說歐式幾何非常的完美，也很符合生活經驗，因此就統治了人類長達數千年的時間，人們也認為歐式幾何完美地描述了物理現實，我們的宇宙就是平直的空間。

但是到了19世紀，人們就發現歐式幾何中的第五條公設貌似存在問題，這條公設是對平行線的定義，說簡單點就是，過直線外一點，僅可做一條直線與已知直線平行。

人們就覺得第五條公設表述得很複雜，看起來更像是個可以被證明的定理，而不是公設。所以大批的數學家就想利用前四條公設，去證明第五條公設，但是都遭遇了失敗。

1920年代，俄羅斯的數學家羅巴契夫斯基另辟蹊徑，使用了反證法想證明歐氏幾何中的第五條公式。

他提出了一個和歐氏平行線公理相矛盾的命題，來取代第五條公設，即：過已知直線外的一點，至少可以做兩條直線與其平行。

在加上前四條公設，羅巴契夫斯基經過一陣推理，結果發現得出來的結論在邏輯上沒有一點矛盾。

所以羅巴契夫斯基就相信，根據新的公理體系推導出來的一系列新的定理，構成了一個完整的新理論。

這個新理論跟歐氏幾何一樣完備。成為了一個新的幾何，稱為羅氏幾何。

在當時可以說所有的數學家都搞不懂，羅巴契夫斯基在說什麼？尤其是看到他的文章中說，過直線外一點可以做兩條以上的平行線，認為這是離經叛道的歪理邪說。

唯獨高斯知道羅巴契夫斯基的新幾何學，而高斯選擇了沉默，因為當時歐氏幾何得到了教會的支持，高斯年事已高，已經功成名就，他不願意在冒任何風險，所以高斯也不敢表态。

因此羅巴契夫斯基在世的時候他的幾何并沒有機會發表，因為任何人一看都認為是在胡扯，我們生活在一個平直的空間中，怎麼能存在這種奇怪的幾何？

現在我們知道羅巴契夫斯基說的是雙曲幾何，也就是在負曲率曲面（馬鞍面）上的幾何。在這種曲面上，過直線外一點至少可以做兩條直線與已知直線平行。

而且負曲率曲面上畫一個三角形，其内角之和将小于180度。

1854年，高斯的學生黎曼，還發現存在一種幾何情況，在球面上三角形的内角和将大于180°。

而且在一個球面上，無法做已知直線的平行線。黎曼更改歐氏幾何的第五條公設，就發展出了橢球幾何，稱為黎曼幾何。

可以看出歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何，這三種幾何都描述了空間的形狀，歐式幾何描述的是平坦的0曲率空間，在其中可以做一條平行線，三角形的内角和等于180度，是其他兩種幾何的特殊情況。

羅氏幾何描述的是彎曲的負曲率空間，也就是馬鞍的樣子，在其中至少可以做兩條平行線，三角形的内角和小于180度。

黎曼幾何描述的是彎曲的正曲率空間，也就是球形的形狀，在其中不能做已知直線的平行線，三角形的内角和大于180度。

現在有了可以描述彎曲空間的幾何，愛因斯坦的理論就有了堅實的數學基礎，他利用黎曼發明出來的數學工具度規張量，從數學上描述了彎曲的時空結構，開創了廣義相對論。

廣義相對論認為，物質可以彎曲時空，曲率為正，空間曲率又告訴了物質如何運動！那麼物質如何在彎曲的空間中運動？

當然是沿着空間的曲率運動，就像是我們在地球表面運動一樣，按照的是地球表面的曲率在運動，當我們處在彎曲的空間中的時候，我們也會按照空間曲率運動。

那麼空間的曲率又如何體現呢？就是測地線，比如在地球上，兩點之間最短的距離是過兩點的大圓弧，這個大圓弧就是測地線，而且這個測地線還體現了地球的曲率。

而在彎曲的空間中，測地線就是空間中兩點之間最短的距離。光在空間中也不再沿着直線傳播，而是沿着空間的測地線傳播，測量彎曲空間中的測地線，我們就能測量出空間的曲率。

所以說，在我們的地球上根本就沒有所謂的歐氏平面直線，隻有曲線，而且在地球這個局部的正彎曲空間中，也沒有所謂的平行線。

那麼在整個宇宙中呢？歐氏幾何中的平行線也隻在局部成立，比如我們現在觀察到可觀測宇宙幾乎是平坦的，沒有任何曲率，所以在可觀測宇宙這個尺度上，我們就認為存在平行線。

但是整個宇宙空間我們依然認為是一個正曲率，也就是整個宇宙是閉合的球體，因此我們現在認為宇宙是有限無界的，就像是地球表面，有限大小，但是沒有界限。

你從地球表面不停的行走，找不到所謂的界限，隻是在不停的兜圈子。宇宙也一樣，朝着一個方向不斷地前進，你會發現你其實是在兜圈子。

因此愛因斯坦曾經說過這樣一段話，如果你一直盯着前方看，你會看到你的後腦勺。

意思是說，你的後腦勺反射出來的光，不斷地飛行，會在宇宙中旅行一圈，又回到你的眼睛中，因為宇宙是一個閉合的球體。

所以對于整個宇宙的形狀來說，也就是沒有所謂的平行線了。

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