從階乘的定義開始，我們可以在數學上證明：0！=1。在排列組合領域，通常給出的解釋通常是，隻有一種方法可以排列0個物體，或者數學家們發現了0!= 1而不是0!= 0更方便，更有用。
讓我們先來看看什麼是階乘的定義。
一個非負整數n的階乘，用n! 表示，是所有小于或等于n的正整數的積。
這就得到了一個遞歸關系。
排列是一個集合中元素的唯一和特定的順序。例如，包含三個元素的集合{a, b, c}有六種排列方式：
從上面我們可以看出，3！=6。事實上，一個有四個元素的集合有4！=24個排列方式，一個有五個元素{a，b，c，d，e}的集合有5！=120個排列方式。因此，思考階乘的另一種方式是設n是一個自然數，n！就是一個有n個元素的集合的排列數量。
以類似的方式，一個有兩個元素的集合{a，b}，有2！=2個排列組合，即{a，b}和{b，a}。有一個元素{a}的集合，有1！=1種排列組合，因為它隻能以一種方式排序。
一個不包含任何元素的集合被稱為空集。對于一個零元素的集合，可以有多少種排序方式？
我們已經知道，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，……。現在讓我們從後向前看，如何從5！=120中得到4！=24，以此類推。可以清楚地看到：
因此，0！=1!/1。從理論上講，當n為有理數時，應該能夠算出n階乘的值。例如，什（3/2）！是多少？
伽馬函數（gamma函數，γ函數）定義。設z是一個複數。伽馬函數Γ(z)在ℜ(z)>0（半個複平面）中的定義為
這個積分在ℜ(z)>0時收斂。伽馬函數的一個基本屬性由以下命題給出：
上述命題的證明非常簡單，可以用分部積分法完成。
在1處對伽馬函數進行求值，我們發現：
并使用上述命題，我們得到：
由此可見，對于所有正整數n：
伽馬函數推廣階乘乘積的能力在數學的許多領域都有應用，例如，在組合學、概率論和幂級數的計算。
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