【分析方法導引】

當幾何問題中出現了直角三角形斜邊上的中點時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上。進一步的分析就是：若斜邊上的中點是條件，則直接推得斜邊上的中線等于斜邊的一半，并可直接應用兩等腰三角形推得角之間的等量關系。若斜邊上的中點是要證明的結論，則應轉而證明要證相等的這兩條線段都和這條斜邊上的中線相等，也就是轉化為等腰三角形的判定問題或者也就是證明角相等的問題。進一步也就是應用線段相等與角相等之間的等價關系來完成分析。

當幾何問題中出現了線段之間的倍半關系，且倍線段是直角三角形的斜邊時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的基本圖形進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上，得到這條斜邊上的中線等于斜邊的一半，和相應的角之間的等量關系和倍半關系，問題就轉化成要證明問題中出現的倍半關系中的半線段與這條斜邊上的中線相等。

當幾何問題中出現了兩個角之間的倍半關系，且其中的半角是一個直角三角形的銳角時，就可想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。接下來的問題也是将斜邊上的中線添上，然後可應用兩個等腰三角形的頂角的外角等于底角的兩倍的性質來完成分析。

圖3-198

分析：(1)本題要證明AF=CF，而已知∠ADC=90°，就出現了F是直角△ACD的斜邊的中點，從而就要應用直角三角形斜邊上的中線這個基本圖形的性質進行證明(如圖3-199)。這樣要證明AF=CF，就應證明AF、CF都與DF相等，也就是要證明AF=CF的等價性質∠FDC=∠C成立。因∠FDC=∠BDE，所以問題就成為要證明∠BDE=∠C，而已知∠ABC=2∠C，則又應證∠ABC=2∠BDE。由條件BE=BD，這是兩條具有公共端點B的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形，且因為E、B、A成一直線，出現了這個等腰三角形的頂角的外角，所以應用等腰三角形的基本圖形的性質就可證明∠ABC=2∠BDE。

圖3-199

(2)現在要證的結論是AB等于DC和DB的差，所以可根據線段差的定義将DC-DB作出來，再證明所得的線段與AB相等，于是在DC上截取DG=DB，問題就成為應證GC=AB。而由所作的DG=DB和條件AD⊥BG，就出現了一邊上的中線和高重合，即AD是BG的中垂線，從而就可以應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質進行證明。這時應用添加的方法是将等腰三角形的腰添上，也就是連結AG(如圖3-200)，即可得AB=AG，這樣問題就轉化成為要證AG=CG。這是兩條具有公共端點G的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，問題也就成為一個等腰三角形的判定問題，又因為B、G、C成一直線，出現了這個要證明的等腰三角形的頂角的外角，所以問題又可轉化為證明AG=CG的等價性質∠AGB=2∠C。但已知∠ABC=2∠C，所以又應證∠AGB=∠ABC，而這兩個角是等腰△ABG的兩個底角，當然相等，所以分析可以完成。

圖3-200

若在根據線段差的定義來進行分析時，考慮将線段差的關系轉化為線段和的關系來進行讨論，那就可以先将結論變形為DC=AB DB，然後就可将AB和DB這兩條線段接起來。

如果首先考慮将AB接DB上，也就是延長DB到H，使得BH=BA(如圖3-201)，那就要證明DH=DC。但由于BH和BA是兩條具有公共端點B的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形的基本圖形。但這個等腰三角形目前隻有兩條腰而沒有底邊，所以應先将底邊添上，也就是連接AH(如圖3-201)，又因為H、B、D成一直線，出現了這個等腰三角形頂角的外角，于是就可得∠ABC=2∠H。又因為已知∠ABC=2∠C，所以就得∠H=∠C，從而又可得△AHC也是等腰三角形，而AD是這個等腰三角形的底邊上的高，所以DH=DC就可以證明。

圖3-201

如果考慮将DB接到AB上，那麼由已知BE=BD，可得DB接到AB上所得到的線段就是AE，問題就成為要證AE=DC。但這兩條線段在圖形中的位置不易建立它們之間的等量關系，所以應考慮将這兩條線段改變位置，由于問題目前尚未直接出現與圓有關的關系，所以首先考慮将線段平移。

若将DC平行移動到與AE有公共的端點A，則所得的線段AG與DC應平行且相等，所以可構成一個平行四邊形也就是可添加中心對稱型全等三角形進行證明，于是在作圖時可過A作DC的平行線交DF的延長線于G(如圖3-202)，這樣就可得△CDF≌△AGF，DC=AG。問題就轉化成證AE=AG，而這是兩條具有公共端點的相等線段，它們可以組成等腰三角形，問題也就成為一個等腰三角形的判定問題，所以可轉而證明AE=AG的等價性質∠E=∠G，但我們已經可證∠E=∠FDC，而由AG∥DC，又可得∠G=∠FDC，所以可完成證明。

圖3-202

若将DC平行移動到與AE有公共的端點E，也就是過E作EG∥DC，且使EG=DC(如圖3-203)，那麼四邊形EGCD應是平行四邊形，但這個平行四邊形尚缺少一條邊GC(如圖3-203)，所以應先連結GC，就可得GC∥ED，GC=ED。又因為在作出了EG=DC後，問題就轉化為應證EA=EG，而這是兩條具有公共端點的相等線段，所以它們可組成一個等腰三角形，但這個等腰三角形隻有兩腰而沒有底邊，所以應将底邊添上，也就是連接AG并設交EF于H(如圖3-203)。那麼這個△EAG就應是等腰三角形。在這個三角形中，我們已證明∠AEF=∠FDC，而由EG∥DC，且可以看作被EF所截又可得∠FDC=∠FEG，所以∠AEF=∠GEF，EH是△EAG的一條角平分線。另一方面，我們已證F是AC的中點，FH∥CG，應用三角形中位線的基本圖形的性質可得H是AG的中點，EH是△EAG的一條中線，所以應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質，也就是由EG/EA=GH/AH和GH=AH，就可以證明EA=EG。

圖3-203

若考慮将EA平行移動到與DC有公共的端點D，則過D作DG∥EA，且使DG=EA(如圖3-204)，那麼四邊形AEDG就是平行四邊形，于是也應連接AG，應用平行四邊形的性質就可得∠E=∠AGD，∠E=∠GDF。而我們已證∠E=∠C，所以∠AGD=∠C，就可得A、D、C、G四點共圓。又因為已知∠ADC=90°，且F是AC的中點，所以這個圓就是△ACD的外接圓，也就是以AC為直徑的圓，而F就是這個圓的圓心，所以FG也是這個圓的半徑，那麼連接FG後，有FG=FD=FC，這樣就出現了△FGD和△FCD是兩個腰和底角都相等的等腰三角形，所以它們一定全等，從而也就可以證明DG=DC，分析就可以完成。

圖3-204

在将EA平行移動到DG，也就是過D作DG∥EA，且使DG=EA後，問題就成為應證DG=DC。由于這是兩條具有公共端點的相等線段，所以它們應組成一個等腰三角形，而現在這個等腰三角形隻有兩條腰而沒有底邊，所以應将底邊添上，也就是連結GC(如圖3-205)。又因為DG∥EA，且可以看作是被EF所截，所以∠GDF=∠E，我們已證∠E=∠FDC，就可得∠GDF=∠CDF，FD就應是這個等腰三角形的頂角的角平分線，從而就可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質進行證明，但現在這條角平分線DF尚未與CG相交，所以應将它們延長到相交，于是延長DF交CG于H(如圖3-205)，由于DC=DG是要證明的結論，不能用，所以隻能轉而證明GH=CH和DH⊥CG中的一個性質，由于我們已經證明AF=CF，而連接AG後，由四邊形AEDG是平行四邊形可得AG∥ED，即AG∥FH，所以GH=CH可以證明，從而就又可進一步證明DG=DC。

圖3-205

如果考慮∠AGD=∠E=∠C，可得A、D、C、G四點共圓，那麼再由∠ADC=90°，可得∠AGC也等于90°，而AG∥DH，所以DH⊥CG可以證明，從而也可進一步證明DG=DC。

若考慮将EA平行移動到與DC有公共的端點C，則應過C作CG∥EA，且使CG=EA(如圖3-206)，這樣又可以應用中心對稱型全等三角形進行證明，具體作圖也可直接過C作CG∥EA交EF的延長線于G，也就可得△AEF≌△CGF，AE=CG，那麼問題就成為要證CD=CG。現在這是兩條具有公共端點的相等線段，它們可組成一個等腰三角形，同題也就成為一個等腰三角形的判定問題，從而問題就轉化成應證CD=CG的等價性質∠G=∠GDC。由于我們已經證明∠E=∠GDC，而由△AEF≌△CGF，又可得∠E=∠G，所以上述性質可以證明，分析也就可以完成。

圖3-206

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