找出數列的排列規律（二）

這一講我們利用前面學習的等差數列有關知識和找規律的思想方法，解決數學問題

例1. 如果按一定規律排出的加法算式是3 4，5 9，7 14，9 19，11 24，……，那麼第10個算式是（ ） （ ）；第80個算式中兩個數的和是多少？

分析與解：

第一個加數如下排列：3，5，7，9，11……，這是一個等差數列，公差是2，第二個加數排列如下：4，9，14，19，24，……，這也是一個等差數列，公差是5。

根據等差數列的通項公式可以分别求出第10個算式的兩個加數。

所以第10個算式是21 49。

要求第80個算式的和，隻要求出第80個算式的兩個加數，再相加即可，當然也可以找一找和的規律。

想一想：第幾個加法算式中兩個數的和是707？

例2. 有一列數：1，2，3，5，8，13，……，這列數中的第200個數是奇數還是偶數？

分析與解：要想判斷這列數中第200個數是奇還是偶，必須找出這列數中奇、偶數的排列規律。

不難看出，這列數是按照“奇偶奇”的順序循環重複排列的，即每過3個數循環一次。那麼到第200個數一次循環了66次還餘2。這說明到第200個數時，已做了66次“奇偶奇”的循環，還餘下2個數。也就是說餘下的兩個數依次為“奇偶”，所以第200個數是偶數。

例3. 下面的算式是按某種規律排列的：1 1，2 3，3 5，4 7，1 9，2 11，3 13，4 15，1 17，……

問：（1）第1998個算式是（ ） （ ）；

（2）第（ ）個算式的和是2000。

分析與解：

（1）第1個加數依次為1、2、3、4，1、2、3、4……每4個數循環一次，重複出現。1998÷4=499·······2，所以第1998個算式的第1個加數是2。第二個加數依次為1，3，5，7，9，11……是公差為2的等差數列。根據等差數列的通項公式可求出第1998個算式的第2個加數為1 （1998-1）x2=3995，所以第1998個算式是2 3995。

（2）由于每個算式的第二個加數都是奇數，所以和是2000的算式的第1個加數一定是奇數，不會是2和4。隻有1 x=2000或3 x=2000。其中x是1、3、5、7、9……中的某個數。

若1 x=2000，則x=1999。根據等差數列的項數公式得：（1999-1）÷2 1=1000，這說明1999是數列1、3、5、7、9……中的第1000個數，因為1000÷4=250，說明第1000個算式的第1個加數是4，與假設1 x=2000矛盾，所以x≠1999；

若3 x=2000，則x=1997。與上同理，（1997-1）÷2 1=999，說明1997是等差數列1、3、5、7、9……中的第999個數，由于999÷4=249···3，說明第999個算式的第一個加數是3，所以，第999個算式為3 1997=2000。

例4. 将1到200的自然數，分成A、B、C三組：

A組：1 6 7 12 13 18……

B組：2 5 8 11 14 17……

C組：3 4 9 10 15 16……

根據分組的規律，請回答：

（1）B組中一共有（ ）個自然數；

（2）A組中第24個數是（ ）；

（3）178是（ ）組裡的第（ ）個數。

分析與解：（1）B組中的數成等差數列，其首項是2，公差是3，從整個數表看，豎着數是每3個數一組，因為200÷3=66····2，所以200是B組中的最後一個數，根據等差數列的項數公式。（200-2）÷3 1=67。所以，B組中一共有67個自然數。

（2）觀察A組中數的排列規律，由于24是偶數，所以應特别注意偶數位置上的數的排列規律。第幾個數就是3的幾倍，第24個數就是3的24倍，所以A組第24個數是。

（3）觀察A、B、C三組數（豎看），每2列為一組（6個數），……4，說明重複29次，還剩下4個數，這4個數重新排列一下可知，178排在C組。每一組含有C組的2個數。最後餘下的4個數，在C組又排了2個，所以178在C組中是第個數。

［答題時間：40分鐘］

1. 如下圖所示，黑珠、白珠共102個，穿成一串，這串珠子中，最後一個珠子是（ ）顔色的，這種顔色的珠子共有（ ）個。

○●○○○●○○○●○○○……

2. 有紅、白、黑三種紙牌共158張，按5張紅色，後3張白色，再4張黑色的次序排列下去，最後一張是（ ）色，第140張是（ ）色。

3. 節日的校園内挂起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈，小明想，第73盞一定是（ ）色燈。

4. 下面的算式是按一定的規律排列的：4 2，5 8，6 14，7 20……，那麼，第100個算式的得數是（ ）。

5. 找規律，按規律填數。

6. 自然數按一定規律排成下表形式，問：第10行第5個數是多少？

【試題答案】

1. 如下圖所示，黑珠、白珠共102個，穿成一串，這串珠子中，最後一個珠子是（ ）顔色的，這種顔色的珠子共有（ ）個。

○●○○○●○○○●○○○……

除去第一個珠子，剩下的（102-1=）101顆珠子是按照“一黑三白”的次序循環重複的。

說明循環了25次後還多出一個黑珠子，所以最後一個珠子是黑色的，黑色的珠子共有26個。

2. 有紅、白、黑三種紙牌共158張，按5張紅色，後3張白色，再4張黑色的次序排列下去，最後一張是（ ）色，第140張是（ ）色。

這是按“5紅3白4黑”循環排列的，它的循環周期是12。

所以最後一張是紅色，第140張是白色。

3. 節日的校園内挂起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈，小明想，第73盞一定是（ ）色燈。

把排列的順序寫出來是：白、紅、黃、綠、白、紅、黃、綠、白、紅、……是按“白、紅、黃、綠”循環排列的。

所以第73盞燈一定是白色的。

4. 下面的算式是按一定的規律排列的：4 2，5 8，6 14，7 20……，那麼，第100個算式的得數是（ ）。

第一個加數這樣排列：4，5，6，7，……（公差是1的等差數列）

第二個加數這樣排列：2，8，14，20，……（公差是6的等差數列）

根據等差數列的通項公式得：

所以，第100個算式的得數是103 596=699

5. 找規律，按規律填數。

第一個等号前的兩個因數是兩個相鄰的奇數，第二個等号後面的因數介于前面兩個奇數之間。如第3式：5和7之間隻有一個自然數（6）。除此之外，第一個等式的第一個因數是一個公差為2的等差數列（1，3，5，7……）

根據以上規律可得：

第60式中未知數較多，隻要求出第一個等号前的第一個因數就好填了。

根據等差數列的通項公式可得：1 （60-1）×2=119

所以第60式為：（119）×（121） 1=（14400）=（120）×（120）

6. 自然數按一定規律排成下表形式，問：第10行第5個數是多少？

第一行1個數，第二行2個數，第3行有3個數……，第幾行就有幾個數，我們先求出到第九行結束一共有多少個數，然後再繼續數出5個就可以了。

所以，第10行的第5個數是50。

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