不知道您是否和老黃原來想的一樣，以為泰勒公式隻能在x0附近逼近原函數。比如當x0=0時的泰勒公式（即麥克勞林公式），就隻能在原點附近逼近原函數。看完這個例題，您就會和老黃一樣豁然開朗，明白泰勒公式逼近原函數的實質的。

用麥克勞林多項式逼近正弦函數sinx，要求誤差不超過10^(-3).試以m=1,m=2兩種情形分别讨論x的取值範圍.

分析：如果按老黃原來的想法，那麼x的取值範圍肯定是很小的，就是隻能在原點的附近。我們來解一解這個問題，看看是不是這樣的。

首先，寫出sinx的帶有拉格朗日餘項的麥克勞林公式：

sin=x-x^3/3! x^5/5! … (-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)! (-1)^mcos(θx)x^(2m 1)/(2m 1)!, x∈R.

這是泰勒公式在x0=0的定量形式，隻有定量形式，才能保證誤差在要求的範圍内。帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式是定性公式，沒有這個功能。

所謂誤差不超過10^(-3)，指的是泰勒公式（這裡是麥克勞林公式）中的拉格朗日餘項不大于10^(-3), 即(-1)^mcos(θx)/(2m 1)!≤10^(-3).

解：(1)當m=1時, sinx≈x，

要使誤差滿足|R2(x)|=|-x^3cos(θx)|≤|x^3|/6≤10^(-3),

隻須使|x^3|≤6×10^(-3)，即|x|≤0.1817，【注意，這裡取近似值，都要采用退一法，而不能采用四舍五入法，更不能采用進一法，否則就有可能造成答案不正确，下同】

大約有-10⁰24’40”≤x≤10⁰24’40”.

(2)當m=2時, sinx≈x-x^3/6，

要使誤差滿足|R4(x)|=|-x^5cos(θx)|≤|x^5|/120≤10^(-3),

隻須使|x^5|≤0.12，即|x|≤0.6543,

大約有-37⁰29’38”≤x≤37⁰29’38”.

可以看到，這兩個結果，和老黃原先設想的，還是有比較大的差别的。下面結合圖像觀察，更能說明問題。

如上圖（圖畫得不甚準确，但足以說明問題），圖中實線圖像是正弦圖像的一部分，虛線圖像是m不同取值下的麥克勞林多項式的圖像的一部分。可以看到：

當m=1時，麥克勞林多項式是y=x，的确隻能在原點附近逼近正弦函數。當m=2時，麥克勞林多項式逼近正弦函數的範圍明顯大了不少。當m=3時，逼近的範圍已經接近正弦函數的一個周期了（還有半個周期在定義域的負區間上）。當m=4時，逼近範圍超過了一個周期。當m=5時，逼近範圍又更大了。可以推知，當m足夠大時，麥克勞林多項式就可以非常逼近整個正弦函數的圖像。

因此在x0附近，未必要用在x0的泰勒公式逼近原函數，這樣做的好處隻是m(或n)不用取得非常大，取m=1就足夠了。而用麥克勞林公式在任意點x0逼近原函數，則隻需m取得足夠大就可以了，x0與原點的距離越大，m的取值就越大。

注意觀察，我們至少還可以有兩點發現：

1、為什麼sinx的泰勒多項式隻有奇數次項呢？因為這樣的多項式有奇函數的性質，符合正弦奇函數的特性。

2、正弦函數的泰勒多項式的常數項為什麼是0呢？因為sinx過原點，所以隻有這樣的多項式，才能更好地逼近sinx。

現在您能理解泰勒公式的實質了嗎？

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