談談除數是一位數的除法的估算

　　2019年3月31日星期日

　　關于“估算”，我之前寫過一篇文章，比較籠統。

　　——《小學數學估算教學内容的分類

　　今天，我打算針對“除數是一位數的除法的估算”再具體寫一寫。這些内容并不新鮮，也是我課堂當中所講過的。本文的作用或許可比于幫助學生所做的、比較詳細的“課堂筆記”。

課堂闆書（對于書寫，本人亦表示“呵呵”）

　　學生對于估算的學習問題很多，或許需要更長的時間才能熟稔于心，這也是促使我羅裡吧嗦再度行文的重要原因。

　　估算的重點在于掌握估算的方法，估算的難點恰在于估算方法的多樣性和靈活性。迄今為止，至少我是沒能發現一種能“通用于各種情況”的“萬能算法”的，因為至少對于“針對解決問題的估算”是不能完全套用“針對計算的估算”的方法的。

　　我個人認為：估算的重點在于培養估算意識，領悟估算思想，至于估算方法，則是基于“估算思想”的自然選擇和自在取用。從多種多樣的估算方法中抽象出估算的本質思想，并進而藉此統領衆多的估算方法，是學習估算的“辯證的”方法論。

　　本文力圖對“估算”進行一番全面而深入的梳理，但毫無疑問又明顯帶有小學三年級的學段局限。

　　以“255÷4”為例。

　　因為：

　　255÷4＝63……3

　　（除法豎式略）

　　63≈60

　　所以：

　　255÷4≈60

　　這種錯誤不僅小學生會犯，部分未接觸或未深入理解估算的成年人也會犯。從家長的輔導和詢問中，我證實了這一點。

　　之所以将其冠以“重大”誤解，是因為其計算邏輯是：先準确計算出結果，再對結果求近似數。這種做法有違常識——假使我們都知悉了準确結果，又何需近似結果？且徒使估算寄生于筆算（或“精算”吧）之上，成為多餘的附庸，整個計算過程也隻為了“難受”而已。以數學學科之嚴謹周密，斷然不會如此。

　　這種錯誤可以冠名為“本末倒置型”。孰為本？計算過程的估算；孰為末？對準确結果求近似數。

　　為了防止再度出現這樣的錯誤，我給學生“打補丁”：變一變，做口算。

　　末了，加一句：以後估算隻要你列豎式算了，就錯了。當然，這一句經不起推敲，隻為加深“變一變，做口算”的印象。

　　這應當是最為原生态的估算思想。

　　錯例1：

　　式（1）：148÷3＝50

　　式（2）：148÷3≈150÷3≈50

　　既然是對原算式做了“變一變”的處理，則原結果被“扭曲”了，等于号“＝”也要扭曲成約等于号“≈”，以示對算式和結果變化的聲明，讓估算來得光明磊落，而非偷偷摸摸。式（1）顯然在蒙騙。式（2）則過于機械，并不理解“＝、≈”在于其連接兩端的數量關系。就“148÷3”與“150÷3”之間，應當用“≈”；“150÷3”與“50”之間，應當用“＝”。修改為：

　　式（1）：148÷3≈50

　　式（2）：148÷3≈150÷3＝50

　　式（1）是“直接寫出結果”，式（2）則聲明了估算過程。

　　錯例2：

　　456÷7≈455÷7＝65

　　這個估算的确做到了“變一變”，而且變得很巧妙，因為：456÷7＝65……1，輕輕地将被除數減少餘數1，便可以除盡了。再看時，也是不見除法豎式的，盡可以将豎式偷移于“草稿紙”上，形式化地滿足了老師提出的估算要求：變一變，無豎式。讓人啼笑皆非，屬于“照貓畫虎型”。

　　針對這種錯誤類型，我提出估算的第一原則：簡便。

　　錯例3：

　　251÷3≈3÷3＝1

　　這是一個臆想的錯誤類型，一般人不會如此大膽。但從犯錯的邏輯上而言，這種錯誤“可以有”。它滿足“變一變”和“簡便”的要求，而且“簡便”得分外徹底！由于“誇張”的存在，雖然迷惑性強，但不難發現，這是“胡作非為型”，不是在“估算”，而是在“胡算”！

　　若是：

　　251÷3≈210÷3＝70

　　您是否會多一分“寬容”？

　　其實，二者是一丘之貉，以五十步之笑百步耳。鑒于其“誇張”程度低，可稱呼為“舍近求遠型”。我們更期望的算法是：

　　251÷3≈240÷3＝80

　　這種錯誤暴露了學習者的至少兩種缺陷：

　　一是在做例如：（　）×3＜25，括号内最大填幾的練習時，不知訓練的目的；

　　二是乘法口訣學習、記憶、應用中的缺陷，隻知不管3×7＝21，而不知有3×8＝24。

　　這時，我給出估算的第二原則：接近。

　　隻知“思想”，沒有“方法”，是不成氣候的。以上所列部分錯誤類型，足見“思想”在領悟過程中的多樣性和不靠譜的一面。好的“方法”，承載了“思想”，是“思想”的具體化和實現手段。估算方法的來源應當是基于口算類型特點的分析和口算方法的總結。這是估算知識和口算知識間重要的邏輯關聯。

　　小學生的乘法口算是“分層次遞進”的，譬如練功，分布于“第幾重境界”，是有差異的。

　　第一重：一位數乘一位數，即“表内乘法”。形如：1×1、6×7、5×3、9×9……共有81個，因為基于“一個數的最高位不能為0”的規則，單獨一個“0”，并不算做“一位數”。這是對全民乘法口算的必須要求。

　　第二重：整十、整百……數乘一位數。自此而下，皆突破了“九九乘法表”。形如：10×3、60×7、500×3、9000×9……

　　第三重：整十、整百……數乘整十、整百……數。形如：10×30、60×70、500×300、9000×900……這兩重，形式上恐怖，好似一下子口算“多位數乘多位數”。實則簡單，隻需特殊處理一下因數“末尾的0”，“非0部分”的乘法其實也便是“表内乘法”。

　　第四重：不進位的多位數乘一位數及整十、整百……數的拓展。形如：12×4、23×3、122×4、122×40、1230×300……所謂“不進位”，換個角度而言，即“積為10以内的乘法口訣”，有：1×1～9、2×1～4、3×1～3、4×1～2、5×1、6×1、7×1、8×1、9×1，共23句，以“大九九”論，不以“小九九”算。所謂“多位數”，至少是其非0數字在兩位以上，包含：120、1020、2300……這些以“幾百幾十”、“幾千幾百”……稱呼的數，也含：102、23、224……這些“非整十、整百……數”的一般多位數。

　　第五重：不連續進位的多位數乘一位數及整十、整百……數的拓展。形如：13×4、24×3、123×4、123×40、1040×300……

　　第六重：連續進位的多位數乘一位數及整十、整百……數的拓展。形如：43×4、243×5、405×4、789×40、4040×300……

　　第七重：特殊數字乘一位數及整十、整百……數的拓展。如：11×4、111×5、22×4、2222×30、25×4、25×70、15×3、150×50、125×8……

　　以上五、六重，實則納入了筆算教學範圍，第四重同時納入了口算和筆算教學，第七重其實屬于“計算練習的特定經驗積累”，類似于為了提高圓周率的計算效率，将3.14×2～9的積背下來一樣。

　　對于小學生的口算乘法要求，以一、二、三重為主，兼及第四重和部分第七重。口算乘法的學習貫穿于乘法學習的整個過程。根據經驗，學生對于筆算乘法的障礙也多來源于口算，要麼是不能熟練、準确地應用乘法口訣，要麼是對于進位乘法中的“乘加口算”不能默算。比如：78×9在計算十位時，需要心算：9×7＋7，初步練習時，這一步多數學生要寫下來才能完成。從某種角度上說：不存在所謂嚴格的筆算，世間隻有口算，所謂“筆算豎式”，隻不過是合理而有效的将一大堆口算組織、聯合了起來。比如：78×65就可以看作是： 5×8、5×70、60×8、60×70這四步口算的組織與聯合。

　　小學口算除法應當是口算乘法的逆運算。因此，整數的口算乘、除法應當具備以下特點：

　　1.以表内乘法及其整十、整百……數的拓展為主，此時，作為逆運算中被除數的積，要麼是整十、整百……數，要麼是幾百幾十……數；

　　2.以不進位的多位數乘一位數及整十、整百……數的拓展，特殊數字乘一位數及整十、整百……數的拓展為輔。

　　（重要程度★★★★★）

　　對于“除數是一位數的除法”的估算，首選的方法是：

　　①除數不變，變被除數；

　　②将被除數變為最接近的整十、整百……數。

　　第一條中，之所以“除數不變”，是因為除數是一位數，以後除數是多位數了，多半也還是要變的，目标也多是整十、整百……數。所以如此不确定，可以構造一例：

　　713÷24≈750÷25＝30

　　這是将被除數與除數綜合考慮了，由于“數感”良好，經驗豐富，便想到了：25×3＝75。若是按部就班，先變除數，再變被除數，則是：

　　713÷24≈700÷20＝35

　　713÷24≈800÷20＝40

　　713÷24≈600÷20＝30

　　足見，沒有“萬能”的估算方法。反過來又說明：不要奉某一兩種估算方法為圭臬，越是熟練時，就越不受限于具體的一兩種估算方法，就越是倚重于估算思想的宏觀指導。

　　由上，估算似乎可以定義為：将不易口算、宜筆算的題目（評判标準：正确率、便捷性和計算速度），近似轉化為口算，快速求得大約結果的計算。

　　（重要程度★★★★★）

　　回到三年級下冊。

　　估算：267÷3。

　　由于：260＜267＜270，且267更接近270，給出精度在十位的估算：267÷3≈270÷3＝90；

　　由于：200＜267＜300，且267更接近300，給出精度在百位的估算：267÷3≈300÷3＝100。

　　道理同上。教材見于下圖：

人教三數下冊29頁

　　若是隻将上面的方法捧為至寶，則會輕易碰壁。

　　例1：361÷5≈

　　按上面的方法，有：

　　精度在十位的估算：361÷5≈360÷5＝？

　　精度在百位的估算：361÷5≈400÷5＝80

　　但若是：

　　361÷5≈350÷5＝70

　　則結果明顯更優。

　　估算方法升級一：用除數的乘法口訣湊被除數，百位夠除湊前一位，百位不夠除湊前兩位。

　　例2：500÷7≈

　　當看到這個估算時，可愛的孩子們會說：“這道題不能估算。”若是有了“估算方法升級一”，則又可以算了。

　　500÷7≈490÷7＝70

　　例3：896÷8≈

　　例4：753÷5≈

　　這時學生多會做成這樣：

　　896÷8≈800÷8＝100

　　896÷8≈720÷8＝90

　　753÷5≈500÷5＝100

　　753÷5≈450÷5＝90

　　而我們期望的是這樣：

　　896÷8≈880÷8＝110

　　896÷8≈888÷8＝111

　　753÷5≈750÷5＝150

　　估算方法升級二：用除數的倍數湊被除數。

　　“甲數是乙數的多少倍”，這樣的知識三年級上冊學過，見于“倍的認識”。“甲數是乙數的倍數”，嚴格點，卻要等到五年級下冊。對于“估算方法升級二”，針對少量的個别題目，我甯願用11、111、15、25……的口算乘法處理，提醒學生擴大積累口算乘法的經驗，培養“數感”（就是一種對于數字的直觀感覺，有敏感性，能快速抓住主要特點等）。

人教三數上冊50頁

人教五數下冊5頁

　　以後，對于更多的估算，在基本方法之上，進行補丁升級，基本是一種常态。

　　估算教學的挑戰在于：估算方法本來多樣，但成功的教學總是始于固定的估算法則；在協調“變與不變”的過程中，由方法升華到思想，潛藏于意識之中，提升數感，改善行動，則是最終的成功。

　　（重要程度★★★★★）

　　“估算結果沒有對錯之分，隻有好壞之分”，這幾乎是一條共識。閱卷老師或許除外，他們會像我們一樣，極為認同用估算的兩條原則：簡便、接近，去評判一種估算的好壞。

　　例5：257÷3≈

　　257÷3≈300÷3＝100

　　257÷3≈270÷3＝90

　　257÷3≈240÷3＝80

　　三種方法都對，但我們都會傾向于第二種，尤其快速、大量閱卷時。

　　我也會這樣做，但我依然認為，這樣做在邏輯上是有缺陷的。

　　事實上，多數情況下，我們無法事先确定或根本無法确定估算結果的“接近程度”。生活中，類似人口數、燈泡壽命、糧食産量、路程、瓶裝藥片數、飲料容量……都是具有誤差的近似數。要麼準确數無法獲得，如全國人口數；要麼準确數令人生疑，如畝産水稻813.624千克；要麼以區間表示的數據更為可信，如每瓶裝100片，正負差3片以内。總之，若将單純的針對計算的估算拓展開來，類比于“估計推斷”時，過程的合理比結果的評判更為重要！這一條甚至是《概率統計學》的根本特點。

　　我反對将估算要求為“直接寫出得數”，因為您無法确定他是否使用了極端愚蠢的“精算出結果求近似數”的方法。我認為估算必須寫出估計的過程，隻要過程合理，結果就是對的。

　　反對寫法：257÷3≈90

　　推薦寫法：257÷3≈270÷3＝90

　　基于“過程”評判時：

　　257÷3≈270÷3＝90，估大了；

　　257÷3≈240÷3＝80，估小了。

　　兩個估算都有價值，合并起來，準确結果在區間（80，90）之間，甚而至于折衷點取85，也未為不可。事實上：

　　257÷3＝85……2

　　或：

　　257÷3＝85.6666666666……

　　針對實際問題的估算中，特定的“估算方向”有時候很有用。

　　僅舉兩例，不再細究。

　　例1一年級3個班捐贈圖書256冊，二年級4個班捐贈圖書345冊，三年級5個班捐贈圖書478冊。哪個年級平均每班捐贈圖書的冊數最多？

　　見于下圖：

人教三數下冊32頁

　　若是筆算解決：

　　①一年級：256÷3＝85（冊）……1（冊）

　　②二年級：345÷4＝86（冊）……1（冊）

　　③三年級：478÷5＝95（冊）……3（冊）

　　④85冊＜86冊＜95冊

　　答：三年級平均每班捐贈圖書的冊數最多。

　　問題是解決了，但是由于三年級學生沒有學習小數除法，第④步的比較丢掉了餘數，嚴謹點，這也是邏輯上的缺陷。其實，教材煞費苦心，目的在于引導學生估算解決問題。

　　正确的估算如下：

　　①一年級：256÷3≈270÷3＝90（冊），估大；

　　②二年級：345÷4≈360÷4＝90（冊），估大；

　　③三年級：478÷5≈450÷5＝90（冊），估小；

　　④一、二年級平均每班捐贈圖書冊數在90冊以下，三年級在90冊以上。

　　答：三年級平均每班捐贈圖書的冊數最多。

　　單純作為計算時，三年級的估算應當是：

　　478÷5≈500÷5＝100（冊）

　　然而，問題的要害在于，用估算的結果進行比較大小，無異于緣木求魚。隻有用統一的估算結果加上估算方向的判斷，才是可靠的。當三年級平均每班捐贈圖書冊數估算為100冊時，“100冊最多”這個結論從邏輯上就有可能是“估大”的策略造成的，反而不能肯定地加以判斷。

　　例2小明一家打算外出旅行1周，爸爸羅列出了每天的費用清單。交通費：82元，住宿費：230元，夥食費：180元，門票費：74元。爸爸應大概準備多少錢？

　　交通費：82×7≈90×7＝630（元）

　　住宿費：230×7≈250×7＝1750（元）

　　夥食費：180×7≈200×7＝1400（元）

　　門票費：74×7≈80×7＝560（元）

　　合計：630 1750 1400 560≈700 1800 1400 600＝4500（元）

　　答：爸爸應大概準備4500元。

　　這也算是一種可行的答案。實際生活中，根據“謹慎性原則”，支出估大，收入估小，是有道理的。

　　估算的學習，是一個較長的過程，需要不斷地精進。估算意識的培養，數感的形成，估算的主動運用，伴随着生活的全部過程。

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