前面已經介紹過，下面兩個無窮項的表達式：

這兩個表達式在某種意義上具有“互逆性”，且都收斂，前者收斂到2，後者收斂到4。

2和4恰好是方程

的兩個根。

為什麼前者收斂到2，後者收斂到4呢？

追根溯源，這是函數不動點的問題。

函數的不動點，就是在函數的作用下沒有變動的一個數。例如，對于函數y=2x-1,不動點就是x=1,因為2*1-1還等于1。對于函數y=x,每個x都是不動點。

對于函數y=(√2)^x，x=2和x=4就是其兩個不動點。

關于不動點，有一個很有意思的定理，縮水版（一維版）的巴拿赫Banach不動點定理：

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，對任意x1,x2∈[a,b],滿足

|f(x1)-f(x2)|≤q|x1-x2|,其中0<q<1是一個常數，那麼

1.f(x)在[a,b]上有且僅有一個不動點x*；

2.任取x0∈[a,b]，序列x0,f(x0),f(f(x0)),f(f(f(x0)))....收斂，其的極限為x*。

結合拉格朗日中值定理，當f(x)導數存在時，條件可以改成導數f'(x)的絕對值小于等于q即可。

巴拿赫Banach不動點定理又叫壓縮映射定理，在生活中的應用随處可見，比如：

三維版：一杯水，各種攪拌（沒有溢出且假設物質連續無限可分的話），最後，總存在一小團水攪拌後與攪拌前的位置不變。二維版：一張紙，攤開放平，然後先Pia!(ｏ ‵-′)揉成一個團，再Pia!(ｏ ‵-′)壓成一個餅，把餅放到原來紙的位置，那麼這張紙上至少有一個位置前後不變。（不是說過程中位置不變，而是将最終狀态與初始狀态比較，位置不變。）

言歸正傳。

考察函數y=(√2)^x。容易知道，該函數在（-∞,2]上滿足不動點定理的假設，是一個壓縮映射，故有唯一不動點，x=2。在（2， ∞)上，函數不是壓縮映射，而是帶有放大性質的映射。

既然在（2， ∞)上，函數y=(√2)^x具有放大性質，那麼反過來，它的反函數，y=log_√2 x,就是一個壓縮映射，于是具有唯一的不動點，也就是x=4。

為了計算這個2或者4，隻需要在相應的區間内任取一個初始值，然後不斷地用函數表達式進行叠代，叠代無窮多次，極限就是要求的不動點。這個不斷叠代的過程，可以寫成一個數列，也可以故弄玄虛，寫成吓唬人的一大塊。

所以現在清楚了，看起來很吓唬人的、包含無窮的表達式，其實反映的就是為了計算不動點而不斷叠代的過程。

下面還有幾個具有無窮叠代的表達式，

機智如你，一定可以創造出其他有趣的無窮叠代表達式~~~

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