例1. 已知函數滿足

，問：是周期函數嗎？它的圖像是不是軸對稱圖形？例2. 已知函數滿足

，問：是周期函數嗎？它的圖像是不是軸對稱圖形？

這兩個問題的已知條件形似而質異。有的同學往往把它們混為一談，從而得出錯誤的結論。為了準确地回答上述問題，必須掌握以下基本定理。

定理1：如果函數滿足

，那麼的圖像關于直線對稱。證明：設點

是的圖像上任一點，點P關于直線的對稱點為Q，易知，點Q的坐标為

。因為點在的圖像上，所以

于是

所以點

也在的圖像上。

由P點的任意性知，的圖像關于直線對稱。

定理2：如果函數滿足

，那麼的圖像關于直線

的對稱。

證明：（略）（證明同定理1）

定理3：如果函數滿足

，那麼是以2a為周期的周期函數。證明：令

，則

代入已知條件

得：

根據周期函數的定義知，是以

為周期的周期函數。定理4：如果函數滿足

，那麼是以

為周期的周期函數。

證明：（略）（證法同定理3）

由以上的定理可知，在已知條件或中，等式兩端的兩自變量部分相加得常數，如

，說明的圖像具有對稱性，其對稱軸為。等式兩端的兩自變量部分相減得常數，如

，說明是周期函數，其周期

。

容易證明：定理1、2、3、4的逆命題也是成立的。

牢牢掌握以上規律，則例1、例2迎刃而解。

例1中，

，因此的圖像關于直線

對稱。由這個已知條件我們不能判定是周期函數。例2中，

，因此是周期函數，其周期

。由這個已知條件我們不能判定它是軸對稱圖形。例3. 若函數

對于任意實數t均有

，那麼A.

B.

C.

D.

解析：在

中

所以抛物線的對稱軸為

作示意圖如圖1，可見，應選A。

圖1

例4. 設是定義在R上的奇函數，且，給出下列四個結論：

①

；

②是以4為周期的函數；

③的圖像關于直線對稱；

④

其中所有正确命題的序号是___________。

解析1：（1）因為

是奇函數，所以

令

，得

所以

又已知

令，得

所以

故①成立。

（2）因為，所以

由

（兩自變量相減得常數）

所以是以4為周期的周期函數。

故②成立。

（3）由得：

（兩自變量相加得常數）所以的圖像關于直線

對稱。而不是關于直線對稱。

故③是錯誤的。

（4）由（2）知，應滿足

而

所以

故④成立。

綜上所述，應填①②④。

解析2：根據題設條件，構造出函數的圖像如圖2。

圖2

由圖可見，①②④正确，而③不正确。

例5. 函數

的圖像關于直線對稱，則

___________。

解析：因為函數的圖像關于直線對稱

所以有

（定理1的逆定理）

（與題設矛盾，舍去）或

所以。

例6. 設是R上的奇函數，又的圖像關于直線對稱。問函數是不是周期函數？如果是，求出它的一個周期。

解：因為的圖像關于直線對稱

由定理1的逆定理知：

用

代換上式中的x，得：

再用

代換x，得：

再用

代換x，得：

又為奇函數，即

由<1><2>得：

即

根據周期函數的定義，是周期函數，且

是它的一個周期。

--END--

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!