當談到複雜數學定理的證明時，很多人常常為之色變，認為這隻是一個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是一個讓筆者感到糾結的誤解。

因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線，而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。下面是數學裡十大不需要語言的證明，絕對讓你看了啧啧稱奇！

1

勾股定理

這個大家小學就學過的古老定理，有着無數傳奇故事。我可以很随意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思在 《畢達哥拉斯命題》提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這裡給出一個不需要語言的證明方法。

實際上勾股定理是餘弦定理的一種特殊情況，而餘弦定理的證明，同樣可以不用語言。

2

關于反正切的恒等式

關于反正切，有如下兩個很精彩的等式：

arctan1/2 arctan1/3=π/4acrtan1 arctan2 arctan3=π

它們的證明方法也同樣精彩。

3

幾何平均值小于算術平均值

這是不等式中最重要和基礎的等式：

它也可以通過圖形來證明。

注意到△ABC∽△DBA ,可以很輕松地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。

41 3 5 … （2n-1）= n²

這是奇數的求和公式，下圖是當n=8時的情形

5

平方數的求和公式

一個很漂亮的公式，證明的過程令人眼前一亮。

6

立方數的求和公式

立方數的求和證明與平方數的求和證明方法有些相像：

7

斐波那契數列的恒等式

可謂家喻戶曉的斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，即 F_{n 1}= F_n F_n-1。

它的通項公式是

有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。

而且當n無窮大時，F_n-1/ F_n越來越逼近黃金分割數0.618。正因為它的種種神奇性質，美國數學會甚至從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊。關于斐波那契數列，有一個恒等式是這樣的。

這個等式很漂亮，不需要借助複雜的數學推導，它有一個很直觀的證明方法：

8結果為1/3的一組分子式

下面是一組分子式，他們的結果都等于1/3：

讓我們用若幹個小球看待這個公式。

9

最受數學家喜愛的無字證明

1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中隻擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。

《美國數學月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形塗上一種顔色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分别是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。

它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。死理性派曾經讨論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。

10

棋盤上的數學證明

在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果将對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？

答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顔色，另一種顔色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。

但是如果我們切掉的不是顔色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顔色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,并且關于這個結論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結論。

上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條将整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顔色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顔色的格子數量都是偶數，故分别都可以被若幹張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁•加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。

上述是數學裡十個很經典的例子。你還見過什麼高明的嗎，可以留言告訴大家哦！

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