一、如何證明公式e＾（ix）＝cosx＋isinx？
我們先設f（x）＝cosx＋isinx，
然後通過複數運算法則知：
f（x）f（y）
＝（cosx＋isinx）（cosy＋isiny）
＝（cosxcosy-sinxsiny）＋i（sinxcosy＋cosxsiny）
＝cos（x＋y）＋isin（x＋y）
＝f（x＋y）
即f（x）f（y）＝f（x＋y）
又∵f（0）＝1，f＇（0）＝i，
∴f（x＋△x）-f（x）
＝f（x）f（△x）-f（x）
＝f（x）（f（△x）-f（0））
兩邊除以△x并取△x→0的極限得：
f＇（x）＝f（x）f＇（0）
f＇（x）＝if（x）
f＇（x）／f（x）＝i
兩邊取區間（0，x）上的定積分，運算可得：
Lnf（x）＝ix，
∴f（x）＝e＾（ix），
即e＾（ix）＝cosx＋isinx公式成立。
二、上述結論可直接推出三角形函數的另一種表達式
∵e＾（ix）＝cosx＋isinx
∴e＾（-ix）＝cosx-isinx
兩式加減可解出sinx，cosx：
sinx＝（e＾（ix）-e＾（-ix））／（2i），
cosx＝（e＾（ix）＋e＾（-ix））／2。
附圖：
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