課題：28.2 解直角三角形

1．知識與技能

理解直角三角形中邊與邊的關系，角與角的關系和邊與角的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互餘、以及銳角三角函數解直角三角形，并會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題；初步感受高等數學中的微積分思想．

2．過程與方法

通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互餘及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力．

3．情感、态度與價值觀

滲透數形結合的數學思想，培養學生良好的學習習慣．

1．重點：直角三角形的解法．

2．難點：三角函數在解直角三角形中的靈活運用．

1．注意加強知識間的縱向聯系

銳角三角函數反映了銳角與數值之間的函數關系，這一次函數、反比例函數以及二次函數一樣，都反映了變量之間的對應關系．因此教學時，要注意讓學生體會這些不同函數之間的共同特征，更好地理解函數的概念．

2．注意數形結合，注意體現數與形之間的聯系

解直角三角形在實際中有着廣泛的作用，在将這些實際問題抽象成數學問題，并利用銳角三角函數解直角三角形時，離不開幾何圖形，這時往往需要根據題意畫出幾何圖形，通過分析幾何圖形得到邊、角等的關系，再通過計算、推理等使實際問題得到解決．因此在本章教學時，要注意加強數形結合，在引入概念、推理論述、化簡計算、解決實際問題時，都要盡量畫圖幫助分析，通過圖形幫助找到直角三角形的邊、角之間的關系，加深對直角三角形本質的理解．

（一）複習導入

我們回到本章引言提出的比薩斜塔傾斜程度的問題。

1972年的情形：設塔頂中心點為B,塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A,過點B向垂直中心線引垂線，垂足為點C(圖28.2-1)。在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2mAB=54.5m,因此

sinA= BC/AB=5.2/54.5≈0.0954

利用計算器可得∠A≈5°28′

類似地，可以求出2001年糾偏後塔身中心線與垂直中心線的夾角。你能求出來嗎？

如果将上述實際問題抽象為數學問題，就是已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角的度數。

一般地，直角三角形中，除直角外共有五個元素，即三條邊和兩個銳角由直角三角形中的已知元素，求出其餘未知元素的過程，叫做解直角三角形。

（二）互動授新

例題1：要想使人完全地攀上斜靠在牆面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50°≤a≤75°（課本圖28．2-1），現有一個長6m的梯子，問：

1．使用這個梯子最高可以完全攀上多高的牆（精确到0.1m）？

2．當梯子底端距離牆面2.4m時，梯子與地面所成的角a等于多少（精确到1°）？這時人是否能夠安全使用這個梯子？

首先對問題的解法進行分析：對于問題1，當梯子與地面所成的角a為75°時，梯子頂端與地面的距離是使用這個梯子所能攀到的最大高度．

教師要求學生将上述問題用數學語言表達，學生做完後教師總結并闆書：我們可以把問題1歸結為：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜邊AB=6，求∠A的對邊BC的長（如課本圖28．2-1）．

教師講解問題1的解法：

由sinA= 得 BC=AB·sinA=6×sin75°．

由計算器求得 sin75°≈0.97，

所以 BC≈6×0.97≈5.8．

因此使用這個梯子能夠完全攀到牆面的最大高度約是5.8m．

教師分析問題2：當梯子底端距離牆面2.4m時，求梯子與地面所成的角a的問題，可以歸結為：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜邊AB=6，求銳角a的度數（如課本圖28．2-1）．

教師解題：由于cosa=AC/Ab=2.4/6=0.4，

利用計算器求得a≈66°．因此當梯子底端距離牆面2.4m時，梯子與地面所成的角大約是66°，由50°<66°<75°可知，這時使用這個梯子是安全的．

例題2：如下圖，已知A、B兩點間的距離是160米，從A點看B點的仰角是11°，AC長為1.5米，求BD的高及水平距離CD．

學生先做完此題後教師再進行講評：

解題方法分析：由A作一條平行于CD的直線交BD于E，構造出Rt△ABE，然後進一步求出AE、BE，進而求出BD與CD．設置此題，即使成績較好的學生有足夠的訓練，同時對較差學生又是鞏固，達到分層次教學的目的．

解：過A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．

在Rt△ABE中，sinA=BE/AE

∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．

cosA=AE/AB

∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）

∴BD=BE ED=BE AC=30.53 1.5=32.03（米）．

即 CD=AE=157.1（米）．

答：BD的高及水平距離CD分别是32.03米，157.1米．

小結：利用三角函數解應用題時，首先要把問題的條件與結論都轉化為一個直角三角形内的邊和角，然後再運用三角函數知識解題．

（三）課堂鞏固練習

雙基與中考

1．根據直角三角形的__________元素（至少有一個邊），求出________其它所有元素的過程，即解直角三角形．

2．Rt△ABC中，若sinA=4/5，AB=10，那麼BC=_____，tanB=______．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那麼sinA=________．

4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC．

（1）求證：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的長．

答案:

1．已知兩個 2．8 3/4 3． 4/5

4.（1）在△ABC中，AD是BC邊上的高，

∴tanB=AD/AB cos∠DAC=AD/AC

又∵tanB=cos∠DAC．

∴BD=AC．

（2）∵sinC=12/13，設AD=12x，AC=13x，

∴CD=5x，BD=13x，則BC=18x，

又∵BC=12，

∴18x=12，即x=2/3，

∴AD=8．

（四）課堂總結

解直角三角形時一般要用到下面的知識，在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A, ∠B ∠C 所對的邊分别為a b c.那麼除直角∠C外的五個元素之間的關系。

（1）三邊之間的關系：

c² = b² a²（勾股定理）

c = √ b² a²

b = √ c² -a²

a = √ c² - b²

（2）兩銳角之間的關系：

∠A ∠B=90°．

（3）邊角之間的關系：

sinA= ∠A的對邊/斜邊 = a/c，

sinB= ∠B的對邊/斜邊 = b/c

cosA= ∠A對鄰邊/斜邊 = b/c

cosB=∠B的鄰邊/斜邊 = a/c

tanA=∠A的對邊/鄰邊 = a/b

tanB=∠B的對邊/鄰邊 = b/a

利用這些關系，知道其中兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出其餘三個未知元素。

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