《這篇文章适合任何知道根号的學生及學生家長，小學教師，中學老師； 任何童心未泯的老兒童，青壯年， 及任何一位希望重學一遍初等數學的數學教育者。》

平方，立方的數學概念其實在學生學十進制計數時就已有接觸。10的平方(也叫二次方）是百，10的立方（也叫三次方）就是千，百的平方是萬，萬的平方是億。所以，說學生在一年級就學了平方和立方也不為過。好玩的是（假如你不覺得奇怪），平方，立方的逆運算：開平方根和開立方根卻要等到七年級的下半學期。這裡先不管這個時間上的大跳越， 倒是由此也可以想象平方根，立方根應該是個非常困難的概念。

平方根的定義也不是那麼可怕。你若問什麼數的平方是百，大部分人稍有遲疑，也會答出：是10。據此，我們定義：100的一個平方根是10。是的，10隻是一個100的平方根。那另一個是什麼？ 對的，是 -10。由于負負得正，我們稍作思考也能領悟：除0以外，一個數的平方根應該是兩個。那困難從哪裡來？

我們來試着問個類似問題：什麼數的平方是2？大部分成人可能沒有遲疑就答出：是根号2， 或負的根号2。學生沒聽過根号2，我們也可以解釋：因為沒有整數的平方是2，所以我們就“造”個新數（或新記号）根号2來代表這個數。至于有關根号2的更多傳說（比如，傳說這是個沒有道理的數---無理數），有精力可以去聽聽，沒精力，就讓它繼續傳說下去也無妨。對這些傳說的不理解可能是學生害怕根式的原因之一。

根号2的傳說

假如一個無理數沒把你吓退，那我們繼續。有什麼數，它的平方是個負數嗎？覺得這又是個傳說？是的，我們以後的寫作裡再提起它---虛數，複數的概念可以由此引出。單是考慮數的平方根運算就會産生“無理數”和“複數”兩個大概念，無疑，根式的引入對一般學生而言會是很大的挑戰。

這裡隻考慮正數的平方根。

從上面的例子裡，我們看到，對一個正數來說，它有兩個平方根：一個是正，一個是負。由此，中文教科書上做如下定義。

平方根的定義

隻看平方根的話，這個算術平方根的名詞也沒什麼害處，無非就是指正數的正的平方根。但是，假如我們考慮一般的n-次根的話就有很多疑惑。比如你問我：算術立方根是什麼？我就無言以對了。

我們來看看立方根的例子。你若問什麼數的立方是千，大部分人還是會答出：是10。因此，我們定義：1000的立方根是10。還有别的立方根嗎？ 你會搖頭了。因為隻有“一個”1000的立方根，好像就沒必要引入“算術立方根”了。有沒有算術4次根？好像也沒地方提過。

把平方根和立方根做如此分類（一個有“算術”根，一個沒有）并不是一個好的策略，反倒容易引起不必要的誤解。 我們更提倡統一地稱一個正數的“算術平方根”為“主平方根”（principal square root）。或簡單地稱為正平方根。也想提醒大家，英文裡也不常見 “arithmetic square root”， 一般用 “principal square root”。

因為已經有關于根式的衆多傳說，我們不妨告訴學生多一個傳說：任何一個非零的數都有n個不同的n-次根。不幸的是，你在實數域裡也許一個都看不到。在學習了複數以後我們會定義任給的複數的n-次根，以及它的 “主n-次根”。我們會确定任何正數的“主n-次根”都是正數！因而中文教科書上的算術平方根就是主平方根。

有興趣的讀者可以在諸子數學第一冊的第17章讀到1和-1的所有4次方根（為大家的方便，列表如下）。

1和-1各有4個4次根

也許，告訴了學生任何數都有n個n-次根，大家反倒更坦然對待根式了。也許他們也更期待學習虛數和複數了。

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