第一章　有理數

知識點一 有理數的分類

有理數的另一種分類

想一想：零是整數嗎?自然數一定是整數嗎?自然數一定是正整數嗎?整數一定是自然數嗎?

零是整數；自然數一定是整數；自然數不一定是正整數，因為零也是自然數；整數不一定是自然數，因為負整數不是自然數。

知識點二 數軸

1.填空

① 規定了唯一的原點，正方向和單位長度 (三要素)的直線叫做數軸。

② 比－3大的負整數是-2、-1。

③與原點的距離為三個單位的點有2個，他們分别表示的有理數是3、-3。

2.請畫一個數軸，并檢查它是否具備數軸三要素？

3.選擇題

① 在數軸上，原點及原點左邊所表示的數是（　）

Ａ整數 Ｂ負數 Ｃ非負數 Ｄ非正數

②下列語句中正确的是（　）

Ａ數軸上的點隻能表示整數

Ｂ數軸上的點隻能表示分數　

Ｃ數軸上的點隻能表示有理數

Ｄ所有有理數都可以用數軸上的點表示出來

答案 AD

知識點三 相反數

相反數：隻有符号不同的兩個數互為相反數,0的相反數是0。在數軸上位于原點兩側且離原點距離相等。

知識點四 絕對值

1.絕對值的幾何意義:一個數所對應的點離原點的距離叫做該數的絕對值。

2.絕對值的代數定義：（1）一個正數的絕對值是它本身；（2）一個負數數的絕對值是它的相反數；（3）0的絕對值是0；（4）|a|大于或者等于0。

3.比較兩個數的大小關系

數學中規定：在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從大到小的順序，即左邊的數小于右邊的數。由此可知：（1）正數大于0，0大于負數，正數大于負數；（2）兩個負數，絕對值大的反而小。

知識點五 有理數加減法

1.同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加。

絕對值不相等的異号兩數相加, 取絕對值較大的加數的符号,并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

2.互為相反數的兩個數相加得0。

3.一個數同0相加，仍得這個數。

4.減去一個數，等于加上這個數的相反數。

知識點六 乘除法法則

1.兩數相乘，同号得 正 ，異号得 負 ，并把絕對值 相乘 。 0乘以任何數，都得 0 。

2.幾個不為0的數相乘，積的符号由負因數的個數确定，負因數的個數為 偶數 時，積為正；負因數的個數為 奇數 時，積為負。

3.兩數相除，同号得 正 ，異号得 負 ，并把絕對值 相除 。0除以任何一個不等于0的數，都得 0 。

4.有理數中仍然有：乘積是1的兩個數互為 倒數 。

5.除以一個不等于0的數等于乘以這個數的 倒數 。

知識點七 乘方

乘方定義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方。

中，底數是a，指數是n，幂是乘方的結果；讀作：的n次方 或 的n次幂。

負數的奇次幂是負數，負數的偶次幂是正數。正數的任何次幂都是正數，0的任何正整數次幂都是0。

知識點八 運算律及混合運算

1.加法交換律：a b=b a

1.加法交換律：a b=b a

2.乘法交換律：a·b=b·a

3.加法結合律：a (b c)=(a b) c

4.乘法結合律：a·(b·c)=(a·b)·c

5.乘法分配律：a·(b c)=ab ac

6.有理數混合運算順序：先乘方；再乘除；最後算加減。

7.有括号，先算括号内的運算，按小括号、中括号、大括号依次進行 。

8.同級運算， 從左到右進行 。

知識點九 近似數

1.近似數：在一定程度上反映被考察量的大小，能說明實際問題的意義，與準确數非常地接近，像這樣的數我們稱它為近似數。

2.近似數的分類

（1）具體近似數（如30.2、58.0 …）

（2）帶單位近似數（如2.4萬…）

（3）科學記數法

3.精确度：用位數較少的近似數替代位數較多或位數無限的數，有一個近似程度的問題，這個近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位，就說精确到哪一位(看精确度得到原數中去看在哪一位上,如:2.4萬精确到千位，而非十分位，因為2.4萬就是24000，4在千位上)。

4.有效數字：對于一個不為0的近似數，從左邊第一個不為0的數字起，到末尾數止，所有數字都是這個近似數的有效數字。

求近似數要求保留n個有效數字時，第n 1個有效數字作四舍五入處理。

例：0.0109有三個有效數字1、0、9，要求保留2個有效數字時，0.0109的第三個有效數字9四舍五入，變為0.0110，保留兩個有效數字1、1後求出近似數0.0109≈0.011。

第二章 整式的加減

知識點一 整式的相關概念

代數式中的一種有理式：不含除法運算或分數，以及雖有除法運算及分數,但除式或分母中不含變數者，則稱為整式。 (分母中含有字母有除法運算的，那麼式子叫做分式)

1.單項式：數或字母的積（如5n），單個的數或字母也是單項式。

（1）單項式的系數：單項式中的數字因數及性質符号叫做單項式的系數。( 如果一個單項式，隻含有數字因數，系數是它本身，次數是0)。

（2）單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數(非零常數的次數為0)。

2.多項式

（1）概念：幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。

（2）多項式的次數：多項式中，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。

（3）多項式的排列：

把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降幂排列；把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升幂排列。

在做多項式的排列的題時注意：

(1)由于單項式的項包括它前面的性質符号，因此在排列時，仍需把每一項的性質符

看作是這一項的一部分，一起移動。

(2)有兩個或兩個以上字母的多項式，排列時，要注意:a.先确認按照哪個字母的指數來排列。

b.确定按這個字母降幂排列，還是升幂排列。

3.整式: 單項式和多項式統稱為整式。

4.列代數式的幾個注意事項

（1）數與字母相乘，或字母與字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不寫；

（2）數與數相乘，仍應使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；

（3）數與字母相乘時，一般在結果中把數寫在字母前面，如a×5應寫成5a；

（4）帶分數與字母相乘時，要把帶分數改成假分數形式；

（5）在代數式中出現除法運算時，一般用分數線将被除式和除式聯系，如3÷a寫成3/a的形式；

（6）a與b的差寫作a-b，要注意字母順序；若隻說兩數的差，當分别設兩數為a、b時，則應分類，寫做a-b和b-a .

知識點二 整式的加減運算

1.同類項的概念：所含字母相同，并且相同字母的次數也相同的項叫做同類項，幾個常數項也是同類項。(同類項與系數無關，與字母排列的順序也無關)。

2.合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。法則：同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。不能合并的項單獨作為一項，不可遺漏

3.整式加減實質就是去括号，合并同類項。

注：去括号時，如果括号外的因數是正數，去括号後原括号内各項的符号與原來的符号相同；如果括号外的因數是負數，去括号後原括号内各項的符号與原來的符号相反。一般地，幾個整式相加減，如果有括号就先去括号，然後再合并同類項。

4.幾個重要的代數式：（m、n表示整數）

（1）a與b的平方差是： a2-b2 ； a與b差的平方是：（a-b）2 ；（本式中2為平方）

（2）若a、b、c是正整數，則兩位整數是： 10a b ,則三位整數是：100a 10b c；

（3）若m、n是整數，則被5除商m餘n的數是： 5m n ；偶數是：2n ，奇數是：2n 1；三個連續整數是： n-1、n、n 1；

（4）若b＞0，則正數是:a2 b ，負數是： -a2-b ，非負數是： a2 ，非正數是：-a2 （本式中2為平方）

第三章 一元一次方程

知識點一 方程的相關概念

等式：表示相等關系的式子。

方程：含有未知數的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。

方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。

解方程：求出使方程左右兩邊都相等的未知數的值的過程叫做解方程。

一元一次方程：隻含一個未知數，未知數的次數是1，并且等式兩邊都是整式的方程。

同解方程：兩方程的解相同。

知識點二 等式的性質

等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。

即：如果a=b，那麼a±c=b±c。

等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。

即：如果a=b，那麼ac=bc；如果a=b(c≠0)，那麼a/c=b/c。

知識點三 解一元一次方程

1.一般解法：

ⅰ 去分母：兩邊同乘以各分母的最小公倍數；

ⅱ 去括号；

ⅲ 移項：移項要變号；

ⅳ 合并同類項：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

ⅴ 系數化為1：兩邊同除以未知數的系數, 得到方程的解x=b/a。

2.一元一次方程的應用(重點難點)

列方程解應用題的關鍵是：仔細審題，找出能正确表達題目整體數量關系的一個相等關系，再設未知數，并将這個相等關系用含未知數的式子表示出來。

3.幾種常見問題

a.和差倍分問題：這類問題主要是正确理解是幾倍“增加了幾倍”“增加到幾倍”“多少”“大小”“不足“剩餘”等關鍵詞語的意義。

b.行程相遇問題：三個基本量的關系 路程=速度×時間

(1)兩人在圓形跑道上同時同地背向而行求首次相遇時間:甲的路程 乙的路程=一圈的長度(直線路上兩人面對面行走首次相遇的時間求法與之相同)；

(2)兩人在圓形跑道上同時同地同向而行求首次相遇時間:快人的路程-慢人的路程=一圈的長度。

c.工程任務問題：三個基本量的關系:工作量=工作效率×工作時間

一般情況下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作時間(各個量一定要對應,自己的效率乘以自己的時間等于自己的工作量)。合作效率=各個人的效率之和。

d.利潤問題：利潤=售價-成本=成本×利潤率；利潤率=利潤÷成本；實際售價=标價×折扣率。

e.分配問題：例：某車間有22名工人加工生産一種螺栓和螺母，每人每天平均生産螺栓120個或螺母200個，一個螺栓要配兩個螺母(建立等量關系的依據)，應該分配多少名工人生産螺栓，多少名工人生産螺母，才能使每天生産的産品剛好配套？

f.水上航行問題：順水速度=靜水速度 水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度。

應用舉例

1.一本書，小明第一天讀了十分之一，第二天讀了10頁，已讀的是未讀的1／4,請問這本書一共有多少頁?

等量關系：已讀的 未讀的=總頁數(或已讀的=總頁數-未讀的，未讀的=總頁數-已讀的)。

2.某服裝七月份下降了10%，八月份上升了10%，則八月份價格與原價比( )

A.不變 B.增加1%

C.減少9% D.減少1%

注意：不要誤以為不變,百分數的基數不一樣會變化,7月份是在原價基礎上下降10%,8月份是在7月份基礎上上升10%而不再是在原價基礎上上升。

3.甲乙兩人在400米的圓形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。

(1)當兩人同時同地背向而行時,經過多少秒後兩人首次相遇?

(2)當兩人同時同地同向而行時,經過多少秒後兩人首次相遇?

分析(1):設經過x秒首次相遇。兩人加起來跑完一圈即400米時首次相遇,所以等量關系式是:甲的路程 乙的路程=一圈的長度400米 甲的路程=甲的速度×時間x 乙的路程=乙的速度×時間x 得到方程:9x 7x=400

(2)設經過x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈與慢的人相遇, 所以等量關系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的長度400米,在這即是甲的路程-乙的路程=400。

4.一項任務,甲獨做需x天,乙獨做需y天,若兩人合作需________天

分析:合作時間=工作量／合作效率 工作量=1 合作效率=甲的效率 乙的效率

甲的效率=工作量／甲的時間=1／x 乙的效率=工作量／乙的時間=1／y

∴合作時間=1／(1／x 1／y)

5.某種商品每件的進價為250元,按标價的9折銷售時,利潤率為15.2%,這種商品每件标價多少元？

分析：設标價x元,等量關系:利潤(求)÷成本(已知250元)= 利潤率(已知15.2%)

利潤=實際售價(标價的9折即90%x)-成本250

∴(90%x-250) ／250=15.2%

第四章 圖形認識初步

知識點一：幾何圖形

1.我們把從實物中抽象出的各種圖形統稱為幾何圖形。

2.有些幾何圖形的各部分不都在同一平面内，它們是立體圖形。如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等。

3.有些幾何圖形的各部分都在同一平面内，它們是平面圖形。如線段、角、三角形、長方形、圓等。

4.立體圖形與平面圖形雖然是兩類不同的幾何圖形，但是立體圖形中某些部分是平面圖形，對于一些立體圖形的問題，常把它們轉化為平面圖形來研究和處理。有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，将它們的表面适當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形成為相應立體圖形的展開圖。

知識點二 點、線、面、體

1.立體圖形是幾何體，簡稱體；包圍着體的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成線，線有直線和曲線；線和線相交的地方是點。

2.幾何圖形都是由點、線、面、體組成，點是構成圖形的基本元素。

知識點三 直線、射線、線段

1.線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫線段，這兩個點叫線段的端點。

射線：将線段向一個方向無限延長就形成了射線。

直線：将線段向兩個方向無限延長就形成了直線。

2.點與直線的位置關系

點p在直線a上(或說直線a經過點p)；

點p不在直線a上(或說直線a不經過點p) 。

過一點可畫無數條直線，過兩點有且僅有一條直線。簡述為：兩點确定一條直線。

3.線段的中點：把一線段分成兩相等線段的點。

兩點的所有連線中，線段最短，簡述為：兩點之間，線段最短。

兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度。

線段的長短比較：⑴度量法；⑵疊合法

知識點四 角

角：由兩條具有公共端點引出射線組成的圖形(也可看做是由一射線繞端點旋轉而成）。

角的表示：三個大寫字母;一個大寫字母(不混淆情況下方可使用);一個數字;一個希臘字母。

角的要素：頂點和邊，角的大小與邊的長短無關。

角的單位：度,分,秒

①1°的60分之一為1分，記作1′，即1°＝60′

②1′的60分之一為1秒，記作1″，即1′＝60″

角的大小比較：⑴度量法；⑵疊合法。

角平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個等角，這條射線叫角平分線。

餘角和補角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為餘角；如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角。

性質：等角的補角相等；等角的餘角相等。

題型一：作圖題

例1 已知：線段m、n。（如圖）

求作：線段AC，使AC = m - n。

作法：（1）作射線AM；

（2）在射線AM上截取AB = m。

（3）在線段AB上截取BC = n。

則線段AC就是所求作的線段。

題型二：線段的分類考慮

例2 已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，求線段AC的長。

解：本題分兩種情況：

如圖4—4—9所示，當點C在線段AB的延長線上時，

AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；

如圖4—4—10所示，當點C在線段AB上時，

AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．

所以線段AC的長為11 cm或5cm。

例3 經過任意三點中的兩點共可以畫出的直線條數是( )

A．1或3 B．3 C．2 D．1

解析：這道題要分兩種情況考慮：一是這三點都在一條直線上時，就隻能畫出一條直線；二是這三點不在同一條直線上時，此時共可以畫出三條直線． 答案：A

題型三： 兩角互補、互餘定義及其性質的應用

例4 一個角的補角是這個角的4倍，求這個角的度數

解：設這個角是x°，則它的補角是(180－x)°。

由題意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以這個角是36°。

點撥 本題主要考查補角定義的應用，數學中利用方程、轉化思想，可将“形”的問題轉化為“數”的問題研究，從而簡捷解決問題。

例5 如果一個角的補角是120°，那麼這個角的餘角是( )

A．30° B．60° C．90° D．150°

解析：本題是對餘角、補角的綜合考查，先根據這個角的補角是120°，求出這個角是60°，再求出它的餘角是30°。 答案：A

例6 根據補角的定義和餘角的定義可知，10°的角的補角是170°，餘角是80°；15°的角的補角是165°，餘角是75°；32°的角的補角是148°，餘角是58°．…. 觀察以上各組數據，你能得出怎樣的結論?請用任意角α代替題中的10°、15°、32°的角來說明你的結論。

解：結論為：一個角的補角比這個角的餘角大90°。

說明：設任意角是α(0＜α＜90°)，α的補角是180°－α，α的餘角是90°－α，

則 (180°－α)－(90°－α)＝90°。

題型四 角的有關運算

例7 如圖4—4—3所示，AB和CD都是直線，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度數。

解：因為∠AOE＝90°，

所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．

又因為∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，

所以∠3＝∠AOD＝76°20′．

所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．

例8 如圖4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD。

解：因為∠MON＝α，∠BOC=β，

所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β

又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，

所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，

所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.

例9 (1)用度、分、秒表示54．12°

(2)32°44′24″等于多少度?

(3)計算：133°22′43″÷3

解：(1)因為0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，

所以54．12°=54°7′12″．

(2)因為24″=()′×24＝0．4′，44．4′=()°×44．4=0．74°，

所以32°44′24″=32.74°．

(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3

＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3

=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″。

題型五 鐘表的時針與分針夾角問題

例10 15：25時鐘面上時針和分針所構成的角是__度

解析：起始時刻定為15：00(下午3點整時，時針和分針構成的角是90°)，終止時刻為15：25，從圖4—4—5中可以看出分針從12轉到5用了25分鐘，轉了6°×25＝150°，時針轉了0.5°×25＝12.5°，所以15：25時鐘面時針和分針所構成的角為150°－90°－ 12.5°＝47.5°

答案：47.5

例11 從3時到6時，鐘表的時針旋轉角的度數是( )

A．30° B．60° C．90° D．120°

考點突破：此類題是近幾年中考中的熱點問題，考查形式為選擇題或填空題．解決此類問題需明确：在鐘表上，1分鐘分針走6°，1小時時針走30°。

題型六：方位角

例12 如圖4—4—24所示，一隻螞蟻從O點出發，沿北偏東30°方向爬行2.5 cm，碰到障礙物B後，又沿西北方向爬行3 cm到達C處。

(1)畫出螞蟻爬行的路線；

(2)求∠OBC的度數；

(3)測出線段OC的長度(精确到0.1 cm)．

解：(1)螞蟻爬行的路線如圖4—4—25所示

(2)因為螞蟻從O點出發沿北偏東30°方向爬行2.5 cm到達B處，即∠OBD＝30°，則∠ABO＝60°．

又因為螞蟻到達B處後又沿西北方向爬行了3 cm，即∠ABC＝45°．

所以∠OBC＝∠ABO＋∠ABC＝60°＋45°＝105°．

(3)用刻度尺測量OC的長約為4.4 cm．

題型七 折疊問題

例12 如圖，長方形紙片ABCD，點E、F分别在邊AB、CD上，連接EF．将∠BEF對折，點B落在直線EF上的點B'處，得折痕EM；将∠AEF對折，點A落在直線EF上的點A'處，得折痕EN，求∠NEM的度數．

解：EN平分∠AEA‘,所以 ∠AEN=∠A’EN

同理,EM平分∠BEB‘,所以 ∠BEM=∠B’EM

因為：∠AEN ∠A’EN ∠BEM ∠B’EM=180度

所以：∠A’EN ∠B’EM=90度

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