最近幾年，“數學思維”這個詞的出現頻率比以前明顯高了不少，有很多課程也打着數學思維的旗号。然而在我看來，這些課程基本上都是挂羊頭賣狗肉，甚至老師自己都不了解什麼是數學思維。

本文是我為了跟同行交流而寫的一篇關于數學思維課的普及性簡介。雖然篇幅不長，但如果對數學這個學科和教育沒有一些基本的認識，仍然可能存在理解困難。

撰文 | 婁文（中山大學數學學院）

當前數學教學的困境

數學是小學和中學最重要的科目之一，也是學生花費時間最多的課程。以目前的教學實踐情況來看，數學的課堂教學仍然采取簡單粗暴的方式——如果學生學習有困難，就布置更多的作業，加大學習強度，試圖通過讓學生從“不會”磨到“會”的方式來提高成績。

在很多科目上，提高學習強度的做法效果是比較明顯的，因為這些科目的學習目标主要是了解相關的知識點，考核的也是學生是否“知道某個事實或結論”。通過增加學習時間提高學生對知識點的熟悉度，特别是有針對性地對其中的重點内容進行死記硬背，成績的提升效果就更加顯著。

然而，在數學學習上埋頭苦幹、強行突破，雖然不能說完全沒有效果，但相對投入的時間精力而言，可以說是收效甚微。而且，為達到既定目标而加倍地布置任務，更容易引發學生的抗拒和厭學情緒。孩子不是沒有感覺的機器，不是我們希望運轉多長時間就能運轉多長時間的。

數學的科目特點跟其他科目有比較明顯的差異性，因此在教學方式上也應該有所體現。具體來說，其他科目是以知識性學習為主，而數學則是思維分析能力和知識性内容并重，兩者相輔相成。然而長期以來，數學的教學實踐采取的卻是适合知識性學習的模式。

現有的數學教學模式的困境，很多人其實都看得很明白。然而如果要進行調整，小修小補意義不大，大幅度的調整卻難以下決心。為什麼大家都不願對這個模式開刀？對于小學，我認為主要原因有二：

其一，缺乏動力。小學階段因為學習内容相對（中學階段）簡單，知識點少，題目的變化也較少，“填鴨式教學 題海戰術”的方式雖然存在各種弊病，但也能達到一些提分效果。在現有的教學條件下，這不失為一個“明智”的選擇。更何況，這種方式的弊病更多地是在中學階段才逐漸顯現，給了小學足夠充分的“掩耳盜鈴”的時間，說服自己無需為這些弊病負責。

其二，師資條件不足。由于各種客觀原因，導緻教師隊伍的整體能力和素質遠不夠理想，填鴨式教學尚且勉強，優化教學則困難重重。這個問題在數學科目上的表現尤為明顯。

由于缺乏動力，所以沒有做出改變的緊迫感。同時又受到師資條件的限制，難以找到合适的突破口進行教學革新。于是，墨守成規就成了自然的選擇，因為它足夠安全，而且結果容易預測和掌控。

總結起來，在小學階段采取适合知識性學習的教學模式教數學，雖然教學方式和科目特性并不匹配，但如果以考試成績作為衡量标準，結果還可以接受。最關鍵的是，這種方式對老師和學校的挑戰性不大，而讓學生承擔了更大的學習壓力。

上述局面如果打個比方，就像我們現在有一輛馬車，最高時速可以達到50公裡。然而如果要達到最高速度，拉車的馬就要拼盡全力，而且不能期望進一步提高速度了。為了提高速度，一個可行的方案是把馬車換成小汽車，不僅可以很輕松地達到50公裡的時速，而且還能再把速度繼續往上提。

但是這個方案有兩個“缺點”，第一是把馬車換成小汽車需要花費一筆錢，第二是原本習慣了駕馬車的“車夫”要改學開汽車，是否能勝任？培訓費用多大？由于存在這兩個缺點，從短期來看，把馬車換成小汽車是虧本的買賣。因此，即使明白為長遠的利益考慮應該換小汽車，做這個決定仍然需要很大的魄力。

小學的數學教學也存在（舊的）馬車模式和（新的）小汽車模式。現實中，幾乎所有小學都仍然保持這馬車模式，敢于嘗試小汽車模式的學校鳳毛麟角。

如果說小學還有選擇餘地，困難主要在于下決心排除客觀上存在的障礙，那麼中學則可以說是沒有選擇的機會。中學的生源來自小學，由于絕大多數學生已經習慣了“填鴨 題海”模式，而且沒能建立起基本的數學思維能力，中學也隻能“一條道走到黑”了。無論是改變學生的固有習慣還是培養數學思維，都需要花費大量的時間和精力，而中學的學習内容本身就很多，學習進度很快，根本不可能拿出這麼多時間去完成這些任務。

每當對現狀進行批判時，總會有人引用“存在即合理”來反駁。小學和中學當前的數學教學狀态，确實有其形成的原因，但這不能成為我們不去改變它的理由。如果總是按照這樣的邏輯去做事，社會也就不可能發展進步。

正視數學思維的地位，讓數學教學回歸正途

如果我們承認數學思維是數學學習中非常重要的部分，就必須在教學中體現出來。相對于這個目标，填鴨式教學和題海戰術恰好是南轅北轍。數學原本是使人變得聰慧的科目，但現實中大多數孩子卻越學越“笨”，越不懂得思考，甚至抗拒思考，隻想等着老師給他答案照抄。

數學學習的外在表現是“解題”，在大多數人眼裡，各種各樣的題目就是數學的主要學習内容。然而，如果把題目看作是知識性内容來學習，那麼數學的“知識量”就太大了。特别是在中學階段，題目的條件千變萬化，有些題目看起來很不一樣，用的卻是差不多的方法；而有些題目看起來差别很小，用的方法卻截然不同。摸不着其中門道的人，氣惱之下就抱怨數學的“陷阱”太多，故意為難人。

數學題目的變化多端，平面幾何是一個典型例子。僅僅是一個“全等”的概念，就可以編出很多不同的題目。而“相似”的概念比“全等”更廣泛，變化形式就更多了。可以說，平面幾何讓一大批在小學階段自我感覺學得不錯的學生紛紛繳械投降，從此失去了學好數學的信心。

相對于中學的其他學習内容，平面幾何對尋找關聯性和探索不同的解決路徑的能力要求更高。這些能力在小學的數學題目中原本也有充分的體現，然而卻往往在教學中被刻意回避了。小學的數學老師們想了很多辦法，讓學生能在不鍛煉這些能力的情況下把題目做出來。而中學的數學老師卻難以複制這樣的“成功經驗”。

如果說小學數學像一座小山包，從旁邊繞過去比直接翻越山頂隻是多花費一點時間，那麼中學數學就像連綿不絕的山脈，試圖從旁邊繞過去不僅需要繞得很遠，在規定的時間内拼命努力也可能無法按時到達目的地，而且一不小心就會迷路，讓人在焦慮和迷茫中耗盡了所有體力。

在小學的數學題中也有變化形式較多的内容。例如行程問題，歸結起來都是關于速度、時間和路程三者之間的關系，但在不同的題目中，它們之間的關聯複雜性卻可以有天壤之别。相應地，行程問題中既有難度很低的“送分題”，也有難度極高的“壓軸題”。

行程問題中的知識性内容隻有速度、時間、路程的概念，但如果隻是把這三個概念翻來覆去地念叨，花再多時間也做不出幾道行程問題的題目。不過，數學老師們想了很多辦法，隻為把行程問題的解題變成知識性内容。他們把行程問題的題目按題目的條件和需要求的結果分成很多類型，大類下面還可能要再進一步分成小類。越是經常考的題目，分類往往就越細。

有的題目雖然曾經出現在考試中，但難度較大且再次出現的可能性相對較小，老師們通常就不會花很多時間去講解它們的解法，也不會安排很多同類型的題目給學生練習。總的原則是，出現頻率越高的題目，花的時間就越多，務必使學生充分熟悉其所屬類型的解法的每一個步驟，并且能夠熟練地完成整個解答過程，達到足夠高的準确率。

這種處理方法把行程問題的學習看作一個靜态的任務，按照行程問題的題目的難度和在考試中出現的頻率來分配學習時間。如果站在學生的位置上看，行程問題這個“學習單元”共包含若幹個類型，有的類型是需要重點掌握的，有的類型相對次要，但也要争取掌握好。在其他（知識性）科目中，這種編排模式是非常典型和常見的。

對每種類型的行程問題題目，學生盡管也需要了解解法中每一個式子的作用，但這往往不是他們充分思考後的結論，而是源于老師的“知識性介紹”。能力強且思考習慣好的學生通常能形成自己的見解，然而這樣的學生顯然隻占一小部分，大多數學生都是囫囵吞棗，也甘于囫囵吞棗，因為他們隻要把這些步驟都記準确了，就能夠拿到分數。

當學生習慣了這樣的教學方式後，就會越來越抗拒接觸學校的老師所教授的範圍之外的題目。他們非常熟練地使用“超綱”來形容這些題目，并且毫不掩飾自己的厭惡。長此以往，他們的思維不僅不可能外向發散，而且會不斷萎縮，直到不再具備哪怕一點點的獨立思考能力。

我們強調對數學思維的重視，并不是否定知識性内容在數學課中的重要性。小學數學中包含大量的知識性内容，例如各種基本概念和性質。對于認知能力仍處于不斷提升階段的小學生來說，這些知識性内容的學習需要花費大量的時間。而且，這些知識性内容也是數學思維學習的必要基礎。隻有在足夠紮實的知識基礎上進行數學思維的引導和訓練，才有可能達到理想的效果。

我們強調對數學思維的重視，是因為相對于數學思維在數學學習中的重要性，老師在教學中投入的時間少得太多，甚至想方設法避開數學思維的培養。這種短視行為使數學這個支柱性科目在事實上喪失了它最重要的教育功能，退化成為毫無教育意義的知識性科目。

數學素養雖然可以劃分為數學知識和數學思維兩個部分，但這兩個部分并不是相互獨立的内容。數學思維的培養需要以相關的數學知識作為基礎，并且自然地融入到這些知識點的學習中去。數學思維能力應随着數學知識的增長而逐步提升，兩者相輔相成，相得益彰。

本文經授權轉載自微信公衆号“歐拉數學荟”。

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