【分析方法導引】

當幾何問題中出現了直角三角形斜邊上的中點時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上。進一步的分析就是：若斜邊上的中點是條件，則直接推得斜邊上的中線等于斜邊的一半，并可直接應用兩等腰三角形推得角之間的等量關系。若斜邊上的中點是要證明的結論，則應轉而證明要證相等的這兩條線段都和這條斜邊上的中線相等，也就是轉化為等腰三角形的判定問題或者也就是證明角相等的問題。進一步也就是應用線段相等與角相等之間的等價關系來完成分析。

當幾何問題中出現了線段之間的倍半關系，且倍線段是直角三角形的斜邊時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的基本圖形進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上，得到這條斜邊上的中線等于斜邊的一半，和相應的角之間的等量關系和倍半關系，問題就轉化成要證明問題中出現的倍半關系中的半線段與這條斜邊上的中線相等。

當幾何問題中出現了兩個角之間的倍半關系，且其中的半角是一個直角三角形的銳角時，就可想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。接下來的問題也是将斜邊上的中線添上，然後可應用兩個等腰三角形的頂角的外角等于底角的兩倍的性質來完成分析。

圖3-228

分析：由BD是半圓的直徑，就可應用半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明。現在圖形中是有直徑，有半圓上的點E，而沒有圓周角，故應先将圓周角添出，即聯結DE(如圖3-229)，就可得∠DEB=90°，于是條件中出現的線段之間的倍半關系CE=1/2BD中的倍線段BD就成為直角△BDE的斜邊，從而就可以應用直角三角形解邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。但圖形中這條斜邊上的中線尚未出現，所以聯結OE，得OE=1/2BD(如圖3-229)，這樣又可進一步推得CE=OE，這是兩條具有公共端點的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形，應用等腰三角形的基本圖形的性質就可得∠ECO=∠EOC。而根據直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質，又可得∠EOC=2∠B，所以就有∠ECO=2∠B。又因為條件中給出B、D、C成一直線，所以結論中出現的∠CDA就成為△ABD的一個外角，那麼應用三角形外角定理就可得∠CDA=∠DAB ∠B，而要證的結論是∠CDA=3∠B。将兩式進行比較，可得問題轉化成為要證∠DAB=2∠B，也就是要證∠DAB=∠ECD，這樣問題就成為要證A、E、D、C四點共圓。而由條件B、E、A成一直線，∠BED=∠ACB=90°，就可以證明這個性質，分析也就完成。

圖3-229

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