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求解函數值域的方法總結

生活更新时间:2024-11-20 18:25:42

一、反函數法

利用函數和它的反函數的定義域與值域的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域。

例如求函數

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的值域，這種類型的題目也可采用分離常數法。

★ 例1、求函數

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的值域。

解析：由

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解得

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因為

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，所以

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，則

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故函數

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的值域為

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。

二、換元法

換元法主要是把題目中出現多次的一個複雜的部分看作一個整體，通過簡單的換元把複雜函數變為簡單函數，我們使用換元法時，要特别注意換元後新元的範圍（即定義域）。換元法是幾種常用的數學方法之一，在求函數的值域中發揮很大作用。

★ 例2、若

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，求函數

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的值域。

解析：

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因為

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，則

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于是

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故

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的值域是

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。

三、分離常數法

求一次分式函數值域可用分離常數法，此類問題有時也可以利用反函數法。

★ 例3、求函數

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的值域。

解析：

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因為

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，則

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故函數

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的值域為

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。

四、判别式法

把函數轉化成關于x的二次方程

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，通過方程有實數根，根據判别式

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，從而求得原函數的值域

形如求函數

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（

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、

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不同時為0）的值域，常用此方法求解。

注意這類函數的定義域一般是實數集時用這種方法一般不會出錯，否則不宜用這種方法。

★ 例4、求函數

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的值域。

解析：原式變形為

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。

①當

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時，方程無解；

②當

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時，因為

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所以

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解得

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。

綜合①②得，函數的值域為

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。

五、函數的單調性法

确定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性，借助單調性求出函數的值域。

★ 例5、求函數

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的值域。

解析：因為當x增大時，

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随

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的增大而減少，

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随

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的增大而增大，所以函數

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在定義域

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上是增函數。

故

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，所以函數

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的值域為

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。

六、利用有界性

利用函數解析式中局部式子的有界性來求整個函數的值域也是常用的求值域的方法。

★ 例6、求函數

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的值域。

解析：由函數的解析式可以知道函數的定義域為R

對函數進行變形可得

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因為

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，所以

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求解函數值域的方法總結（求函數值域問題的方法彙總）51

則

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，故

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所以函數

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的值域為

求解函數值域的方法總結（求函數值域問題的方法彙總）55

。

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