在“長方體、正方體的體積計算公式”教學中，到底哪一種推理占主導呢？筆者覺得應該是演繹而不是歸納。如果是歸納，計算公式的産生過程就是一個“發現”的過程。如果是演繹，計算公式的産生過程就是一個“抽象”的過程。數學知識的産生有發現的因素，但更多的應該是抽象的過程。皮亞傑提到過“反身抽象”也叫自反抽象，這是數學抽象的主要方式。如果以歸納推理為主要方式，整個教學過程隻突出一種動作——“算”。在算的過程中發現數字之間的相乘關系，然後得出一般結論，“長方體的體積=長×寬×高”，接下來就是記憶公式和大量運算。這樣的學習過程是機械的，而且這樣的“發現”也是淺層的。因為數字之間的相乘關系的發現在二年級就能做到，如“5○4○2=40”。數學抽象即反身抽象，是對自己動作的反思及抽象。這種抽象建立在主體兩種動作協調之上，在本課中，在測量長方體體積過程中，一種動作是“擺”的動作，另一種是“數”的動作，兩種動作協調的結果是“算”的結論。

皮亞傑說：小學十一至十二歲同學，具有體積守恒及三維測量的心理結構。學生掌握了長方體的長、寬、高改變時，内部體積或積木中所包含木塊可以不變這一觀念，學生知道一些小木塊擺成的3×1×4與3×2×2這樣的長方體它們的體積是不變的。《課程标準》也指出：以圖形測量為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，了解掌握測量的基本方法，從而發展學生的空間觀念。為了讓學生感受“有溫度的數學”思想，通過“擺”的直觀動作及“數”的思維動作的協調，抽象出長方體、正方體的體積計算公式。在一系列思維活動中，自己構造直觀，努力使學生空間觀念的最近發展區最大化。同時此課也有統一“測量”思想與方法的意圖，二年級的一維測量、三年級的二維測量、五年級的三維測量，都是在經曆一個由“數”到“算”的過程。

在探索過程中，通過兩種動作的協調和兩種水平的抽象，得出長方體和正方體的體積計算公式，第一次抽象是“客體抽象”，以實際操作為依據，在操作中通過“數”的動作，初步抽象出長方體的體積等于體積單位的數量。第二次抽象是将第一次“數”的動作内化，進一步抽象出“長方體的體積=長×寬×高”。在第一次用小正方體操作時，學生已經知道長方體的體積就是所含體積單位的數量，隻是這種認識還沒有内化。通過操作，便于學生将“擺長方體”的動作内化為自己的知識結構，這一結構是學生繼續同化後續知識基礎。在學生的測量動作完成後，不必讓學生觀察體積和長、寬、高的關系，因為這是“找規律”，是淺層“發現”。讓學生說一說如何測量長方體的體積，這仍然是以“數”為前提，但這時的數已經不止是“動作”，裡面有了充分的“運算”，學生已經跳過動作表征，會用符号表征體積，即“長方體的體積=長（每排體積單位數）×寬（排數）×高（層數）”。數學學習要讓學生探尋數學産生的本原，即有溫度的數學。操作後急于得出結論，有悖認知邏輯，發生認識論認為，認識的發展是随知識本身的發展而進行的。在最初，人們測量長方體的體積時可能經曆漫長的“數”體積單位的階段，雖然在課堂上我們要極力縮短這一過程，但也不能太過着急。在這個操作的過程中應突出這樣一點——活動内化，如果始終停留在實際操作，卻未能在頭腦中實現必要的重構，就根本不可能發起任何真正的數學思維。這樣，在學生有了“長方體的體積=體積單位的數量”這一結構後，抽象水平就要有所提升，進入皮亞傑所謂的“反身抽象”階段，就是對抽象的抽象。這時學生得到的結論是“長方體的體積體積單位的數量”，對于能測量的長方體很好解決，不方便測量體積的長方體怎麼辦？這時就會引起學生思考，長方體的長、寬、高和體積單位的數量有什麼關系？一系列的問題在學生頭腦裡迅速翻炒，前後對比，發現長方體的長就相當于每排體積單位的數量……于是又得出結論“長方體的體積=長×寬×高”，學生開始用思維把握對象。塵埃落定，在這個不斷探索、不斷抽象的過程中，總是伴随着學生的不斷發現，在這個過程中，學生體驗到學習數學的樂趣。

對于長方體和正方體的體積公式，我們不應滿足幫助學生很好的掌握體積公式，然後機械的套用它進行所謂的解決問題，而是應十分重視幫助學生很好的理解體積公式，要讓學生經曆公式的産生過程，這個過程是什麼？就是“數體積單位”。皮亞傑發生認識論的基本假設是，“兒童邏輯上的進展與相應的心理形成過程之間存在着一種平行關系”，兒童認知的發展，是通過科學概念本身的發生、發展進行的，教師傳授學生

一個新概念，應盡可能按其自發的認識過程進行，讓學生在課堂上感受到什麼是“有溫度的數學”。長方體或正方體的“體積公式”是一個怎樣的發展過程呢，對兒童來講，毫無疑問它是一個“數體積單位”的過程，小學生分階段經曆了長度測量、面積測量、體積測量。從測量的維度看，恰好是從一維測量到二維測量，再到三維測量的過程，測量的實質就是單位累加的過程。但我們要在這樣累加的過程中進行必要的抽象，積累活動經驗很重要，但結果同樣重要。我們的數學學習最終還是要抽象出邏輯數學知識，大道至簡，我們探究出來的體積公式，仍然是在“數體積單位”，隻是數的更簡潔，這也就是數學的魅力所在。這正向皮亞傑認為的那樣，人類的知識不管多麼高深、複雜，都可以追溯到人的童年時期。

本課的核心問題是“怎樣測量體積更快？”核心目标是“經曆體積公式的形成過程”。學生開始在“數”體積單位的數量時，各有各的标準，有的橫着數有的豎着數，但無論怎麼數，都是先數一層再數幾層。對于體積單位數量每位同學都不是一個一個數的，此時學生已經開始進入形式運算階段。在解決問題過程中，學生的邏輯運算思維已經占據很大一部分，确切的說，學生是邊數邊算。開始學生進行一個順向思維的測量，有的擺長方體，再數體積單位的數量，有的擺出長、寬、高，再算體積是多少。但光有這樣一種操作式的測量還不夠，還不足以引起學生對體積單位數量的關注，接下來要讓學生思考“怎樣測量更簡單？”，學生馬上想到用“公式”測量更簡單，這個過程中，就是“數學化”或“結構化”的過程。開始用小正方體擺滿了測量長方體的體積，然後知道隻測量長方體的長、寬、高也可以知道體積。在這個過程中，學生的“數”與“算”兩種動作協調在一起，逐步抽象出“長方體的體積=長×寬×高”，這就将學生已有的測量手段“結構化”了，這也是學生測量動作不斷内化的結果……

這樣一來，體積公式悄然形成。

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