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三句數學名言

科學家需要人文素養，那反過來，人文學家是不是也需要有點科學 （尤其是數學）素養呢？

不信，請先試着讀一讀下面的三句數學家名言，你get到要點了嗎？

給我五個系數，我将畫出一頭大象；給我六個系數，大象将會搖動尾巴。

——柯西

如果誰不知道正方形的對角線同邊是不可通約的量，那他就不值得人的稱号。

——柏拉圖

上帝創造了整數，其餘的數都是人造的。

——克羅内克

讀完後，不要急着往下看，先細細品一下。

名言解析

1. 給我五個系數，我将畫出一頭大象；給我六個系數，大象将會搖動尾巴。

這一句名言出自著名數學家柯西。柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789—1857）是法國數學家，在數學領域有很高的造詣。很多數學的定理和公式都是以他的名字來命名的，如柯西不等式、柯西積分公式。柯西在數學上的最大貢獻是在微積分中引入極限概念，并以極限為基礎，建立了邏輯清晰的分析體系。

柯西的這句名言堪稱最晦澀的數學名言，沒有較高的數學素養是很難讀懂其内涵的。

大象？大象搖尾巴？千萬不要被這兩個帶偏了。這句名言裡的重點是“系數”。系數與多項式函數相關，而大象和大象搖尾巴則虛指複雜的曲線。

在多項式函數中，一次函數需要兩個系數，二次函數需要三個系數，五個系數可以表示四次函數，能表達複雜的曲線；如果給出六個系數，就可以勾畫更複雜的曲線。這裡的大象和大象尾巴都是虛指，不要深究到底能不能表達出來。

所以，這句話直接表達的意思是： 隻要數學參數足夠多，沒有什麼是表達不出來的。 但同時，也有人作了反向解讀，即 ：大道至簡，有智慧的人能用簡單的式子表達深刻的本質，不要老喜歡用一堆複雜的讓人看不懂的公式來為現實建模。

2. 如果誰不知道正方形的對角線同邊是不可通約的量，那他就不值得人的稱号。

這句名言出自希臘三哲之一的柏拉圖。這句話的關鍵詞是“不可通約”。

可公度量亦稱可通約量，是數學的基本概念之一。對于兩個正量A與B，若存在第三個量C，使 A=pC, B=qC 同時成立，這裡p, q為自然數，則稱量A與量B可公度或可通約，且稱C是A與B的一個公度，這時稱A與B是可公度量或可通約量。若不存在自然數p，q與量C使A=pC，B=qC成立，則稱A與B是不可公度或不可通約，這時A，B是不可公度量或不可通約量。可以看到，如果A,B可公度，那麼可以表示成兩個自然數之比。

柏拉圖的這句話表明，正方形的對角線與邊之比不能表示成兩個正整數之比，即不是有理數。這個結論可以通過下面的反證法予以證明。

這句名言其實還有深刻的數學背景，與第一次數學危機密切相關。

第一次數學危機發生于約公元前400年左右的古希臘時期，是數學曆史上的一次重要事件，最後以無理數定義的出現做為結束标志。

古希臘時期的畢達哥拉斯學派信奉“萬物皆數”的理念。他們認為，任何數都可以表示為兩個整數的商。這個觀點的幾何解釋就是直線上的任何一個點都可以用一個有理數來表示。

然而，畢達哥拉斯學派裡面有一個學生，叫做希帕索斯。他發現畢達哥拉斯定理（即勾股定理）和所有的數都是有理數這一論斷存在矛盾。具體地，他發現一個邊長為1的等腰直角三角形的斜邊的長度無法表示成有理數（即兩個整數之比）。這一不可公度的發現使畢達哥拉斯學派的領導人變得惶恐，他們認為這将動搖他們在學術界的統治地位，于是極力封鎖該真理的流傳。希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，他在一條海船上還是遇到了倆個畢氏門徒，被他們殘忍地殺害。希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待。有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上事實上存在着無限多不能用有理數表示的“孔隙”。“不可公度量”的發現與“芝諾悖論”一同被稱為數學史上的第一次數學危機，對以後的數學發展産生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，并且推動了公理幾何學和邏輯學的發展。

3. 上帝創造了整數，其餘的數都是人造的。

這句名言出自德國數學家克羅内克。這句話的字面沒有什麼晦澀的内容，但細品一下，就會發現其中大有說法。為什麼說整數是上帝創造的，而其它的都是人造的？

其實，這句名言涉及數的發展和擴充曆史。 在人類發展的曆史上，數的概念的擴充是一個循序漸進的過程。

整數是用于計數的，位于數系的核心。克羅内克這裡說的整數，應該是指自然數。自然數，顧名思義，是大自然的客觀存在。自然數自宇宙誕生之日起就存在，等待具有智慧的生物去發現它并表示它，正如紮西拉姆·多多的一首歌曲《班紮古魯白瑪的沉默》中的歌詞所說“你見，或者不見我，我就在那裡”。數數是人類誕生起就面臨的最基本任務，不論在地球的哪個角落，雖然不同的文明和國家對數字的表示方式可能千差萬别，但終究面臨着要判斷自己早上放出去的牛羊晚上有沒有全部歸來的問題。所以，自然數不是人造的，人類隻是給了它一個表示符号而已。不同的文明早期發明了不同的計數系統用于計數，有十進制的，也有六十進制的。同一個自然數，在不同的計數系統裡可以有不同的表示，但它的内涵都一樣。

數系的每一次擴充，都是人們為了解決原來數系中的某些矛盾，随之而來的是數的應用範圍的擴大。自然數對加法封閉，但對減法不封閉，因此引入了負數。整數系對乘法封閉，但對除法不封閉，因此引入了有理數。任何有理數都可以表示為兩個整數之比，解決了整數集合對除法不封閉的問題。無理數解決了有些長度不可公度（即不能表示成兩個整數之比）的矛盾。虛數則解決了負數不能開方的矛盾。

所以，這三句名言，你讀懂了嗎？

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作者簡介：昍爸，中科院計算機博士，曾獲初中和高中全國數學奧林匹克聯賽一等獎，江蘇賽區第一名，高考數學滿分。現為大學計算機專業教授，平時注重提升孩子的數學和計算思維，開設有公号xuanbamath。

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