一、元素

在數學中，把考察的對象，叫做元素。

例如，将1、2、3組成三位數，在沒有重複數字的情況下，能組成多少個？其中的1、2、3就叫做元素。

二、全排列

把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（也簡稱排列）。n個不同元素的所有排列的種數，通常用表示。

從n個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法；

又從剩下的n-1個元素中任取一個放在第二個位置上，有n-1種取法；

這樣繼續下去，直到最後隻剩下一個元素放在第n個位置上，隻有1種取法。于是

行列式完全展開後的各項，對應其列号的全排列。

三、逆序數

對于n個不同的元素，我們規定各元素之間有一個标準次序（例如n個不同的自然數，可規定由小到大為标準次序），于是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先後次序與标準次序不同時，就說有1個逆序。一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數。

逆序數為奇數的排列叫做奇排列，逆序數為偶數的排列叫做偶排列。

計算排列的逆序數的方法：

不失一般性，不妨設n個元素為1至n這n個自然數，并規定由小到大為标準次序，設

為這n個自然數的一個排列，考慮元素，如果比大且排在前面的元素有個，就說這個元素的逆序數是。全體元素的逆序之和

即是這個排列的逆序數。

例 求排列32514的逆序數。

解 在排列32514中，

3排在首位，逆序數總為0；

2的前面比2大的數有一個（3），故逆序數為1；

5是最大數，逆序數總為0；

1的前面比1大的數有三個（3、2、5）。故逆序數為3；

4的前面比4大的數有一個（5），故逆序數為1；

于是排列的逆序數為

四、行列式定義

為了作出n階行列式的定義，我們先研究三階行列式的結構。三階行列式定義為

容易看出：

（1）上式右端的每一項都恰是三個元素的乘積，這三個元素位于不同的行、不同的列。因此，上式右端的任意項除正負号外可以寫成。這裡第一個下标（稱行标）排成标準排列123，而第二個下标（稱列标）排成，它是1、2、3三個數的某個排列，這樣的排列共有6種，對應上式右端共含6項。

（2）各項的正負号與列标的排列對照：

帶正号的三項列标排列是：123，231，312；

帶負号的三項列标排列是：132，213，321.

經計算可知前三個排列都是偶排列，而後三個排列都是奇排列。因此各項所帶的正負号可以表示為，其中t為列标排列的逆序數。

總之，三階行列式可以寫成

仿照上式，我們可以把行列式推廣到一般情形。

定義 設有個數，排成n列的表

作出表中位于不同行不同列的n個數的乘積，并冠以符号，得到形如

的項，其中為自然數1，2，...，n的一個排列，t為這個排列的逆序數，由于這樣的排列共有n!個，因而形如上式的項共有n!項。所有這n!項的代數和

稱為n階行列式，記作

簡記作。數稱為行列式的元素。

按此定義的二階、三階行列式，與用對角線法則定義的二階、三階行式，顯然是一緻的。當n=1時，，注意不要與絕對值記号相混淆。

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