老黃最近都在分享畫函數圖像的一些例題。因此每次都會先介紹畫函數圖像的一般步驟。這次就不再贅述，直奔主題了。

練習：按函數作圖的一般步驟，作f(x)=3x^5-5x^3的圖像.

請自己先畫一畫這個函數的圖像。

分析：1、确定函數的定義域；

這個函數在R上可導，這裡不僅确定了它的定義域，同時還确定了函數沒有間斷點，也沒有不可導點。

2、考察函數的奇偶性、周期性；

這是一個奇函數。因為f(-x)=3(-x)^5-5(-x)^3=-3x^5 5x^3=-(3x^5-5x^3)=-f(x). 奇函數決定了，我們隻需要作出一半區間，再利用奇函數的圖像關于原點對稱，就可以作出另一半區間。另外，函數不存在周期性。

3、求函數的某些特殊點，如與兩個坐标軸的交點，不連續點，不可導點等；

對函數的解析式因式分解，得到f(x)=x^3(3x^2-5)，就可以知道，當f(x)=0時，x=0或x=±根号15 /3. 即曲線與x軸有三個交點，包括原點和(0,±根号15 /3). 事實上，連續的奇函數就一定過原點。

4、确定函數的單調區間，極值點，凸性區間以及拐點；

當f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=0時，求得函數有三個穩定點：x=0或x=±1.

函數的單調區間分别為：單調增區間(-∞,-1)U(1,∞)，單調減區間(-1,1). 這是由導數的符号性質決定的。

由極值的第一充分條件，可以知道，函數有極大值點(-1,2)和極小值點(1,-2).

又f"(x)=30x(2x^2-1)，可以得到曲線的上凸區間(-∞,-根号2/2)U(0,根号2/2)，以及下凸區間(-根号2/2,0)U(根号2/2, ∞)，這是二階導數的符号性質決定的。

由于函數在R上連續，所以有拐點(-根号2/2, 7根号2 /8), (0,0), (根号2 /2, -7根号2/8).

5、考察漸近線；

函數沒有漸近線，因為設函數有漸近線y=ax b，求得a,b都是無窮大。

6、畫出函數圖象。

現在歸納函數圖像的性态如表：

可以看到，上表隻歸納了函數在非正區間的性态。在這部分區間内，函數有三個關鍵點，極大值點x=-1, 以及拐點x=-根号2/2和x=0. 三個關鍵點将這部分區間又劃分成三個區間，左邊的區間上，函數圖像是單調遞增的上凸曲線；中間部分是單調遞減的上凸曲線；右邊區間是單調遞減的下凸曲線。按這個表，作出函數的部分圖像，然後再根據函數的奇函數性質，作出這部分圖像關于原點的對稱曲線就可以了。

函數的圖像如圖：

這個圖像，和你畫的圖像有什麼出入嗎？

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