史甯中:數學課程标準修訂與核心素養（講座實錄）

大家知道這個月的21号教育部頒布了這個課程方案和課程标準，現在我趁現在這個機會，向各位老師和各位同學彙報一下，這次數學課程标準修訂的基本原則、一些想法和主要的地方，當然這次課标從高中課标開始，咱們國家的教育就是強調了核心素養這個事情，所以我想趁這個機會談一下最近對于核心素養的理解，有很多是，我主要在談我和我們這個小組，包括高中的小組和初中的小組，這是想是如何想問題的，供你們參考。第一個問題，談一下課程标準的背景和要點。第二個談一下核心素養的理解與表達，第三個談一下課程内容，這次的結構是怎麼構建的？是做了哪些調整？談第一個問題背景要點，咱們這個世紀中國的基礎教育發生了很大很大的變化，這個變化主要是表現在過程，過去叫做教學大綱，後來改成了課程标準，因此這個世界開始的基礎教育的改革，在本質上就是課程标準的制定和落實的問題，2001年頒布的實驗課除了相當一些教材，在座的一些老師可能知道2005年出了一些問題，教育部就決定要修訂，修訂當時那個在這個之前我根本沒有接觸過這個基礎教育的這些事情，但是那個時候教育部長周濟，責令我來修訂這個标準，他說你是10萬大學校長，你又是學數學的，你來修訂了，後來我就開始收修訂，一直後來又修訂高中到現在又修訂了，已經近20年時間，這個修訂之後2011年吧，就是10年前，它的一個重大變化是什麼？我想簡單說就三個方面，一個是課程目标與教學目标，過去傳統教學目标是雙基，雙基在本質上是學蘇聯，是52年開始到63年形成文件，後來我們發現雙基不夠，拓展到四基就是加上了基本思想和基本活動經驗，過去強調是分析問題和解決問題，但是到了2011年左右，中國已經提出培養創新性人才，因此光有分析問題和解決問題能力是不夠的，又把這個拓展到四能，就是增加了發現問題的能力和提出問題得能力。還有一個課程内容，就是2001這個标準裡，沒有幾何了，他是用空間與圖形來表達，後來我們把它改成圖形與幾何，并且增加了若幹個基本事實，這樣的話幾何證明就成為可能，我當時沒想到，可能在數學教育界一直存在這個問題，我當時沒有注意到，一版頒布之後，有幾位中學的教員問我，是不是數學的證明隻有幾何證明沒有代數證明，我一下就愣住了，我說怎麼會這樣，出現這個問題後來我想明白了，這是課程标準裡頭，代數給了基本事實，幾何沒給基本事實。因此大家都認為不從基本事實出發的證明就不是證明了，這樣的話在2011版就是剛頒布的這個，增加兩個基本事實，一個是等量與等量相等，也就是A等于B，B等于C，則A等于C，這是基本事實，這是無法證明的事情。還有一個就是等式的基本性質。等号兩邊同時加減，等式依然成立。還有一個事情，就是上一次11年已經把三大能力，咱們國家一直所說的數學的三大能力，運算能力，推理能力和空間想象力，拓展為這個10個核心詞，在數學界是8個核心詞，你可以看到除了保持這些詞之外加上了符号意識、數感、抽象有關的核心詞，這是很重要的一個變化，因為傳統的數學教育，不強調抽象，但是對于數學來說抽象是極為重要的。在提出這個時候有這個想法之後，當時我拿不準，就在06年那我就請了，我最近找到的照片，他們問我那個四基什麼時候提出來，我就開始找資料或和找了照片，06年我請北大的江先生，姜伯駒先生，複旦的這個李大強先生，南開的侯自新先生，吉大的吳卓群先生到東北師大來談，從雙基到四基，可不可以征求一下你們數學家的意見，他們都挺支持的，特别是對基本活動經驗，非常贊同，他們說數學的結論是看出來的，不是證明出來的，因此所有學科對培養這個學科的直覺是極為重要的，但是，江先生當時問我，你說的數學的基本思想是指什麼？我當時沒有認真地想，我說江先生問你這問我一時我也答不上，我說我來寫書來回答你的問題吧，在當時開會的時候，我們請了教育部的副部長主管基礎教育副部長陳小娅基礎司司長，到東北師大一起參加研讨，當時在會上基本就定了四基是可以的，那麼思考之後的基本思想是什麼？基本思想，我想第一就是學習數學一般願意給一個思維的原則，那麼就是數學基本思想是數學的産生與發展所必須依賴的思想，還有學習過數學人應當具有的思維特征是什麼？後來想來想去就想到抽象推理和模型，通過抽象使得現實世界的事情到了數學内部，因為通過抽象得到了數學研究成果，抽象主要是對象是數量與數量關系，圖形與圖形關系，形成了研究對象，則關系用定義符号與表達，那麼數學自身的發展是通過推理得到，因此數學結論通過推理得到的，推理主要分兩類，一類是歸納，類比是得到結論，還有一個是演繹，通過演繹的方法論證結論，我又寫了一篇很長很長的文章，論證無論是歸納一比還是演繹推理都是有邏輯性的，我把邏輯定義為具有傳遞性的那種推理形式叫做有邏輯的推理，這樣的話就論證了，歸納和類比都是有傳遞性的，演繹也是有傳遞性，因此數學，之所以有嚴謹性就是因為它的無論得到結論的過程還是驗證結果，過程都是有邏輯。還有第3個就是模型數學通過模型語言構建了以現實世界的橋梁，因此數學返回現實世界是通過模型布局，很多學科用數學語言來表示他那個研究那個領域的性質關系和規律，因此模型很多命名是用他那個學科的術語來命名，這個模型是作為基本非常重要的，就是抽象推理和模型，那麼這次課标修訂有兩個根本任務，兩個根本任務是所有學科都必須完成的任務，就是第一個立德樹人，立德樹人這件事情，教育部04年的文件是通過核心素養的落實來完成立德樹人的根本任務。并且要求高中課程标準，就應該落實核心素養，用核心素養指導課程标準的實施始終，義教階段也提出了這個要求，因此我們這次課标修訂有一個任務就是如何落實培養出來，我是上次會談的，還有一個就要求實現學科融合，這是一個世界潮流，不光是中國現在要求這樣，有很多發達國家都是要求就是就是要把在義務教育階段，不要把學科分得很細，要把科學包括自然科學一些學科與數學有機融合，因此這次的所有學科都要完成的一個任務，那麼對于數學來說需要完成這麼5件事情，一個是學段的劃分，關于學段的劃分是一件很難的事情，其實編2011年那個課标的時候。就想到小學分三個學段，，原來小學是兩個學段，一到三年級一個學段，四到六年級的是一個學段，其實比較合理的是一二年級一個學段，三四年級一個，五六年級一個，其實對于義務教育來說有個基本原則，就是該教什麼教什麼，小學一二年級的孩子不太适應學數學，因為他說話都說不明白，他不是數學懂不懂，他說話挺懂事，因此，一二三年級是一個學段，有點不是很合理，這是第1個，第2個，四五年級你仔細調查一下，發現四五年級的孩子在思維過程中有一個很大的分水嶺，五年級的孩子似乎就對一些抽象的東西多多少少能夠理解一些，因此學段劃分三個學段比兩個階段合理，這個就是根據心理素質來定。因此這一次是不是能夠劃分成三個學段，最終實現了，還有一個是把四基四能，就是我剛才說的，也要提倡的核心素養怎麼樣容易有機結合的問題，還有一個就是剛才我也說到了代數是不是要增加代數推理，幾何要加強幾何直觀要提升數學的數量，那麼這個在這樣的前提下，如何調整課程的結構與内容，這是一個大問題，第4個就是在綜合與實踐裡頭，如何容易跨學科的知識和傳統文化，第5個是最大最大的一件事情，就是如何體現數學的一緻性，這個可能很多老師和同學不太知道這個一緻性的問題是什麼，我稍微來闡述一下問題本身是什麼，一個是現在小學數學最大的問題是數的認識，缺乏執行。什麼意思？就是缺乏一個數學化的過程，整數怎麼認識？是數量。分數小數怎麼認識，通過圓角分。米分米厘米分數是強調等分，看到這裡沒有一個共同的東西，能把這三個數串聯起來，因此在分數的時候，沒有強調分數的單位，這樣這個問題就出在比較大小1/2比1/3大，你到底是什麼？是分子相等，所以分母大分數小，事實上對于分數來說道理說不應該存在這樣的道理，這樣的道理應該是在同樣的單位下加才能比較大小，因此1/2和1/3比較大小，必須得到同樣的單位，那就是變成3/6和2/6，3/6比2/6大的，這是道理，這樣就可以得到1/2比1/3最大可能是算法裡和法不是一樣，這件事情是很重要，我下回會想到這問題，特别是數的運算缺乏一緻性和舉例說明，分數和小數的除法是小學數學教學的重點和難點，但是各講各的理，分數除法用包含除的原則來講，比如一包含三個1/3，所以1÷1/3=3，那麼隻出1/3怎麼辦？變成了4×1/3塗上這個，然後括号1÷1/3=4，所以4÷1/3=4×3，事實上這個道理是很深的道理，因為什麼？因為你可以舉很快的舉個例子，1除4，也等于4，那麼就變成4÷1再乘1/3，就變成4除3到底哪個對？為什麼這麼算是對呢？分數除法用商不變就是0.4÷0.02，這個擴大100倍，這個擴大100倍不變，這個為什麼商不變就是對的？舉例說明你的例子都是實數的例子，都是整數的例子，整數為什麼比小數好使？這是個問題，因此各講各的理，使得學生認為數學分了好多樣，整數的數學，分數的數學、小數的數學。預算又有分數的運算，小數的運算、整數的運算，這樣的話不僅僅是把學生的思維搞亂，更重要的是耽誤了很長時間，為了講這些理耽誤了很長時間，有一次我在給北師、人教版來講這個事情，有個學生問道，後來他說老師按你這樣就不省了，很多事情我說是你把簡單的問題講麻煩，所以這個學生不值。你費了那麼大勁兒，而講的東西，往往不一定是有用的東西，後來我就寫了一篇文章，隻有一頁的文章，就是關于除數是分數或者小數除法的一個數，隻有一頁就很短，就談這個事情，反正我的學生看見我這篇文章，他說老師，菲萊登塔爾早就看出這個問題了，他給我找了我一看，反正早就說這個事兒說了，就這麼說一輩子以來具體情境會受除法的問題，變得更加複雜。由于教師與教科書的編寫者對于如何從直觀分到這個缺乏認識實際問題更加惡化，因此他提出了一個數學化的過程，但是他隻提出了問題沒有解決，沒有說如何解決的問題，我在這篇文章有意的話，就是解決了這些問題，既然因此課标決定保持兩個原則，11年版的合理内核，17版的這個，核心素養。那麼怎麼來理解和表達核心素養？這個因為時間關系我可能要說的更快一點，這個核心核心素養的是這個事情，這次這一版的義教版也在用核心素養，因為立德樹人的根本任務沒有變，所以很喜歡，這樣的話核心素養你看，它要涉及到小學初中高中，我想很可能未來将涉及大學研究生，可能還指導老師還是研究者的素養，必須具備這麼三個基本的特征給供你們參考，我說的不一定對了，第1個，那你不能小學有小學的，初中的初中高中有高中，核心素養這件事情應該是從一到終老，每一個學習過數學人都應該具有的，但又是終極的永遠達不到，那是這樣的一種。還有一個就是階段性，每一個不同的學習階段應該有不同的表現，有身體身心發展有關知識儲備有關，與經驗積累有關，因此這是最關鍵的核心素養的表述，應該有整體性，既有數學的特征，又有數學教育的特點，更具體的說具有學科的思維特征，又一個認識心理學的特征，認知的特征，這樣的話可以說，就是定義為通過數學教育學生獲得的核心素養，教育部希望的表述名詞變成這樣，就是原來的學科核心素養這個詞取消了，但是我在想這個這樣的東西簡稱是不是可以簡稱到數學核心素養，但是這次課标裡沒有寫數學和英語，隻是用這樣的定義來表述核心素養，這個東西是一種與人的行為有關，教育的終極目标，這個東西是在過程中養成的，是經驗的積累，是因本人參與，一個人會不會想問題是自己想想積累的經驗，會不會做事情也是實踐的結果，因此這些東西不是老師教出來，是自己悟出來，這是經驗積累，這是過程性目标拓展，是四基的繼承和發展，這樣就把核心素養表述為會用數學眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，這樣的話這樣的表述又有數學本身的特征，也有數學教育，所要描述的認知方面的，心理學方面的，那麼一種特征，這是很重要的，這個因為現在的核心素養跟原來我曾經說的那個數學思想又就更一般更包含東西那麼多了。我們來具體看一下，什麼是數學的眼光？為什麼要觀察？因為數學為人們提供了一個認識與探究現實世界的觀察方法，因此隻具有了數學的這種觀察方法，那麼學生就能夠直觀的理解數學的知識及其背景，能夠在日常生活中和其他學科中發現跟數學有用數學的方法能夠研究那些東西，并且能表示出這些研究對象和他的關系具有這種視野的話，他就能夠提出發現有意義的數學問題，引起數學探究，情感，态度，價值觀方面能夠發展好奇心，想象力和創新，那麼在這個意義上它沒有剛才我說數學的抽象更加上位，那麼什麼是數學的思維，數學是如何思考現實世界，那麼數學為人們提供了一種理解和解釋現實世界的思考方法，通過這個學習，學生能夠理解數學的基本概念法則的發生與發展的過程，直到數學基本概念之間的關系到數學與現實世界的問題，能夠合乎情理的理解數學的一些結論，能夠探究現實世界的規律，用數學的方法探究規律，能經曆一個數學，再發現的過程，能夠培養批判性思維，能夠培養實事求是的态度，培養理性精神。那麼什麼是數學語言數學是如何來表達的？這個數學為人們提供了一個描述與交流現實世界的表達方式，這一點他比模型就更加上位這個說法，學生掌握了這個數學的語言，他就初步掌握數學以實現世界的交流方式，能夠有意識的用數學表達現實生活中和其他學科中的形式關系的規律，感悟數據，這是跟我們統計學感悟數據的意義和價值，在這隻有在這樣的過程中，學生才能感悟數學語言，包括他的表達概念，包括他的表達，包括他的數學的一些等式、不等式等等，以簡潔優美的習慣，用數學語言表達和交流習慣，增加跨學科的應用意識和實踐，這樣的話我們就把這個核心素養就那麼我們進一步來分析這個事情。那麼核心素養，他的數學特征是什麼？數學的眼光雖然我說的是上位。那麼，什麼是數學的思維？數學是如何思考建設實踐？那麼數學為人們提供了一種理解和解釋實驗世界的思考方法。通過這個學習，學生能夠理解數學的基本概念、法則的發生與發展的過程。知道數學基本概念之間的關系，知道數學與現實世界的關系，能夠合乎情理的理解數學那些結論，能夠探究現實世界的規律，用數學的方法探究規律，能經曆一個數學再發現的過程，能夠陪培養批判性思維，能夠培養實事求是的科學态度。那麼，什麼是數學語言？數學是如何來表達的？這個數學為人們提供了一個描述語句。像科學它就要盡可能多的使用數學理論，構建數學的模型，使得數學形成一個新特征，就是應用的這種方式，這個極很長時間幾代數學家對數學的觀點可能會有所不同，但是關于數學這個一般性嚴謹性和應用的廣泛性的認知是一緻，因此我們現在把核心素養與數學的思想與數學的特征有機的結合起來，這一個任務完成，但是我在一直到我準備這個PPT的時候，我也沒想特别清楚，就是核心素養的教育特征就是我剛才說的認知和心理方面的課程，我沒有非常好的描述出來，所以我給你們老師和同學提出給你們留下個作業。這個政策，核心素養的階段性特征，階段性特征，大概這個是正确的，這是低年級的學生，應該更多的是基于感官的認知進入感知，因此應該更加具體，應該更加側重于意識，意識是基于感性的。高年級應該基于概念，更一般更加側重觀念，觀念是在概念基礎上的認知，借助于思想集中的能力，這樣我們保留了11年的10個核心詞，17年的6個表現，核心素養闡述，具體表現闡述是這樣，在高中階段6個詞抽象，想象，邏輯，推理，計算，跟數學的思維和眼光思維，跟語言對應的初衷就是更具體的抽象能力，空間觀念，幾何直觀。小學更具體了，小學幾乎沒有強調抽象這件事情，而談的是符号意識，數感這次又加了一個詞，量感，但是老師們一定要知道，這些東西是抽象的一個具體的體現，到初中在更多的談抽象，這個推理這件事情，小學隻要有推理的意識就行，在初中強調一下推理能力，到高中要明明白白的說推理的形式，形式，推理就是有傳遞性的，小學階段隻要求的一個能力就是運算，還有小學，雖然隻有模型意識就行了，數據意識就行了，到了初中階段形成的思想形成的觀念，到高中階段就要求能力了，這是關于核心素養。為了這個核心素養能夠成立，我們把課程标準改變的表述改變了。就是數學是什麼東西，這個東西改變，這句話保留了，數學是研究數量關系和空間形式的科學，這句話保留了就是數學主要研究對象，那麼數學強調數學抽象數學源于對現實世界的抽象，主要是兩個，一個是數量和數量關系，一個是圖形與圖形關系，這跟上頭這個是對應的，得到了數學的研究對象及其關系，第二個基于抽象結構，得到了數學符号的運算形式構建等得到結論的方法，幫人們，這個是很重要的幫助下能夠幫助人們認識理解和表達現實世界，表達現實世界的什麼事情，能夠表達那些有規律性的東西，就是不是現實些什麼事情，而表達那些具有本質的關系和規律。因此數學不不僅僅是運算和推理的工具，也是表達和交流的語言。這是很重要的，因為語言承載的思想語言承載文化，也是一種語言的話，那麼數學也能夠存在這個思想承載着文化，因此數學是人類文明的重要組成部分，對于這樣的一種認識世界的認識數學的方法是從伽利略和牛頓那個時代提出來的，就是宇宙這本書是用數學語言來形容，如果不懂的數學語言，那麼在我們隻能在黑暗中，愛因斯坦說這個由于家伽利略看到了這一點，尤其是由于他向科學界諄諄不悔的教導，這一點使他成為近代物理學之父，事實上也成為近代科學之父，這是現代科學的發展，是因為用數學的原理來表達了現實世界的規律。這就是愛因斯坦這麼評價的。那麼下面再談課程内容的結構與調整，這樣的話我們強調的抽象，再抽象的基礎上強調了抽象結構，抽象結構是什麼事情？是近代數學發展的一個很基礎的東西，就是我們不僅要研究，不僅要知道研究對象是什麼，更重要得知道研究對象的性質是什麼，運算是如何，運算的關系是什麼？這件事情是極為重要的，這件事情最早是亞裡士多德是這麼說的，他說我抽象出這個線，角的這些東西，不是為存在，而是關系，就是這個東西存不存在本身不是重要，重要是他們的關系，這一件事情被希爾伯特說到了極緻，希爾伯特說的歐幾裡得關于點線面的确定再說數學上的不重要，它之所以成為讨論的中心，僅僅是因為公裡數做了他們之間的關系，換句話說無論把它作為點線面，還得把他的桌子上，桌子椅子，啤酒瓶和結論都是一樣，因此僅就概念教概念的教法是有問題，教概念的同時，應當教它的性質關系和規律，将其中的一樣或這個這是非常重要，因此螺旋式上升我是同意的，但是你光說一下他叫啥名就走了是不行，你要說這個事情，你要不就談着性質，要不談的關系要不談一些這個這個預運算就看到現代數學的基礎是集合，集合論GIF工業體系，現代數學的基礎，在技術上雖然這個基礎上談順序，那麼就構建了數的關系，數的本質是大小關系，這是數，算數對數量的時候質量的本質是多少？那麼數的，本身從一定抽象出來就是代數，因此實數空間構建函數的基本空間數實數，空間的本質是也大部分是代數關系，那麼就是單純是不存在最小數什麼，這是構成了很重要的一個事情，還有在大學裡度量是非常重要的，定義距離空間，比如概率論就是主要基于兩種策略，一種是計數測度，勒貝格程度，這個是很重要的，它有一個結合設計和運算的結合，在大學裡因為得到近世代數這是對基礎教育來說運算也是很重要的，就是知道研究對象之後一直到研究對象的運算。特别是屬于我們說的數域跟研究對象，這個跟運算有直接的關系，就是要保證運算，主要是保證運算的封閉性，這樣的話，減法使得自然數擴充到到整數，除法損失了整數，擴充到有理數，高中階段雖然講的有理數和物理數直接區别，他把這樣的數定義為實數，但是高中階段沒有解決實數問題，第一他沒有解決實數的運算，第2個沒有解決實數的連續性，因此實數的解決是在大學階段是通過極限定義的實數，解決了此處的運算和連續性問題。這樣的話基于這樣的思想，我們把傳統的數與代數6個主題合并成兩個主題，雖然這個領域沒有變。但是主題這次發生了很大的變化，比如幾何意義，圖形幾何的4個主題變成2個主題，把圖形的認識和測量放在一起，把數的認識和運算放在一起了，所以在教學過程中，我們在這次課标裡提倡要整體備課，包括全年級的整體備課，包括全學段的整體備課，包括全校老師的整體備課，從對應于核心素養剛才我說的整體性一緻性和階段性要體現在日常教學中的整體性一緻性和階段性，日常教學中的整體性是指知識體系和相應的核心素養的整體把握，及時性是從概念的最初提出到最後的實際應用，這個數學應當是一緻，它有一個階段性就是我們知道了是我們研究的數學的知識是如何進行進階的，還有如何進行核心素養的，應該是不會進階這次提出一個想法，這個可能要研究問題還很多，因為時間關系我不會直接來講。現在學段分成了三個學段綜合與實踐增加了内容，主要增加的是跨學科的内容，特别是在綜合與實踐，強調了傳統文化，比如曹沖稱象和度量衡圓周率的故事都要講數學，這是很重要的，數學講傳統文化與其它學科講傳統文化是不一樣，比如曹沖稱象數學講成的通常除了認識重量單位之外，還要加等量的關系相等，這個道理還要講總量與分量和道理，這是朝中丞相的一所蘊含的速度，因為時間關系我不細講，這個事值得探讨。因此老師未來在這樣的教學中，應該認真的思考這件事情，在講這個代數推理，這次課标強調代數推理和幾何直觀，代數推理就是通過歸納類比得到結論，這個想法是在小學是不是能夠稍微梳理一下，比如我一直關心這個事情，我希望教材編者認真思考，比如我們講了兩位數乘一位數，兩位數乘以兩位數，三位數乘以一位數，那麼關于三位數乘以兩位數的計算方法，是不是可以讓學生自己得到，從讓學生在演繹，通過這上面能歸納一個算法，要進行這樣的歸納，你教材編寫就應該注意了，過去你教材編寫光寫數字不寫行字，是不是上次我很認真談這件事情，北師大版改過來就是要寫橫式。你光講算法不講算理是不行的，比如說這個乘法這個數字運算也是這樣的，把這個數要分解了，因此分配律要用到的，因此乘法算裡決定算法，這個思想是非常重要的一種事情，不信我寫的是我今天最後把這個都留給你，幾何要增加尺規作圖，要感悟抽象物體的存在，幾何抽象的本質是什麼？我想幾何抽象的本質就是把三維的物體用二維圖形表現出來，因此本幾何的本質是二維和三維之間的關系，因此在小學階段進行，此為作圖時不要感悟到抽象物的存在，比如軟的存在，比如同樣長的線段，除了能用刻度之外。圓規也能量出，不讓成本能夠給個現在能做出等邊三角形，直到什麼是周長的時候，下面再談三件事情，這個是特别要修改一個關于數學化的事情，剛才我已經談了，這個事情是課表是這麼寫，要初步體會數概念的一緻性和運算的一緻性，怎麼實現這個一緻性就是怎麼實現這個數學化，我們負擔所希望的這些話，這次特别引進一個計數單位的概念，計數單位是說是一種特殊的計量單位，是什麼樣的計量單位，是個數和順序的計量單位，把它作為數學化一次性的抓，怎麼來做為抓手數的認識，不管是分數小數還是整數，都是多少個計數單位的表達，把這件事情因此。4/3，1/3，1/3是計數單位，這樣的話就解決了這個假分數的問題，要不你假分數永遠說不清楚，你說分數等分的話你怎麼說你這技術那幾個多少個計數單位的小數也是這樣，這就好吧，運算也是這樣，通過計數單位就比較大小，應在同樣的計數單位進行加減運算，用在同樣的計數單位進行，因此分數通分的道理是要得到同樣的計數單位，因此分數的加減運算中，分就是為了得到同樣的事，有單位這樣的話再算上這是一次，無論是整數的運算，小數運算和分數運算都是這樣的，成乘法運算各數和個數運算計數單位，計數單位也是，這個時間關系我自己在講，他有一個方程這次遇到了不懂。主要是兩個原因，第1個方程沒講沒涉及到方程的本質過去，小學數學，他把方程認為隻有一位字母表示未知數，其實表示未知數，不是問題的本質。從算數變成代數是從美達開始，是從用字母表示了這個方程中的系數，而不是表示未知表示未知數，古埃及，因此用字母來表達性質，關系和規律是非常重要的，過去字母表示隻有半節課人交往，我看最多的也不到一節課，現在是要求6節課8節課，這麼表述，感悟出字母就是抽象的意義，還有過去領悟這簡單方程，5 x=2這樣的方程的研究，其實這樣的方式已經是非常不合适的。現在有一個基本原則，可能是未來教材編寫，這次必須遵循教師講課應該遵循，就是所有的新的概念的引入和新的方法的引入，必須讓學生感悟必要性，不是我教你你就得學，不是這麼回事我教你這個東西是很有用的，所以你要學，要引導學生學習，有興趣就是要學習更有用的，因此方程必須在用四則運算結起來非常困難的情況下，我們才能夠引入方程，人方面還是感情方程是一個非常好的事情，這是一個事情，還有一個這樣的方程引入是不可以的，就是傳統說的含有未知數的等式叫做方程，這個定義是不成立的，因為數學定義必須是充分必要把點x=x，這個東西是含有未知數的等式，但它不是方程。它是計算的結果，它是傳遞性的結果，它不是方程方程必須講兩個故事或者更多的故事，這兩個故事亮相的因此等會有兩個功能，一個是表現全體新功能，一個是表現亮相的，這是方程。還有一個這次把百分數阿姨道統計，概率這事性質是在大數據的要求，因為百分數的處理在大數據的處理中是越來越重要，那這樣子的傳統的教學，一個飲料中果汁行業确定性的5%，過做到随機性，比如變成投籃的命中率，而5%的引入，就是可以進行那個随機性向的決策，是狠抓随機現象的決策比确定性的決策，還有在現實生活中，因此在小學階段孩子們多少感悟一下，對于學習随機現象怎麼來決策，比如用百分數，比如我們制定四年級孩子的。叫什麼标準怎麼辦？讓孩子跳記下來，進來之後從小到大排隊，如果容易通過在前20%或者是50%或者是75%來決定這個教程标準，比如咱們國家制定藍天計劃就是這麼制定的，所以把百分數引到統計概率是為了更加适應大數據的要求，在初中階段引入把引入了這個數據分類，這個大數據數據太大了怎麼辦？一個最簡單的方法就是分類，那麼分類的原則是什麼？我們在初中來講，好因為時間關系我就講的是，謝謝大家，謝謝陳教授，那麼我想義務教育課标前兩周剛剛頒布，那麼今天時校長相當于高屋建瓴的給我們把最新。頒布的義務教育課，标的一些很精髓很深邃的東西給我們做了介紹，那麼下面還有一點時間，直播間有這樣幾個問題，麻煩石校長幫忙解答一下，第1個問題是如何理解抽象中的一般性和推理中的一般性，兩者的本質區别是什麼？，數學這個抽象中的一般性是這樣的，兩匹馬兩頭牛，我從抽象抽象為數字，2這個數字就有了一般性數字，而本身在現實世界中是不存在數學研究的東西，在本質上都是不存在的，它是抽象的東西，這樣的話，它是但是這個抽象的東西可以在現實世界中表示所有數量。12的那些東西，因此就一般想進一步用字母表示數就更加一般了，這個字母要在抽象到集合就更加一般了，集合中的元素可以使樹可以是字母，但也可以是幾何圖形，甚至可以是方程式，這樣的話數學就逐漸的越來越抽象，越來越聰明，脫離了現實就越來越遠越來越遠，而推理中的一般是這樣，推理中一般這個事情很難理解，這個這位這位老金融問題的這位老師看來是思考的比較深刻的一種一種，是從歸納得到的一般從歸納得到的，一般比如說這個是把它拆下，從46 80具體的偶數可以表示成樹枝和兒到所有的偶數都。都可以表示為速度之和，這件事情就是從具體到一般，這個是結論是一般的數學結論，一般這個一般和演繹推理從一般到特殊的一般是不一樣，演繹推理中的一般是從往往是從一個假設或者從公理出發，比如我們高中要講11n/ 的n次方，n七5中大，這個數列是收斂的，這件事情你永遠證明不了，這個你怎麼能因為定義永遠證明不了這個事情，所以數學極限的定義是一個定義是一種形式化的，你沒法這麼做，那怎麼辦？我我們必須建立一個公理。這個宮裡按照新的說法，他希望建立這麼功利，我認為新鮮的說法是有道理的，就是單調有界的有理數列必有極限，這是一個一般通過這個頁面。我要數學證明證明什麼？證明你給的那個數列11n/ 的n次方，這個數列本身是單調有界，如果你證明完它是單調有界的，那麼根據這個一般結論，你在你現在所說的數量也是有限的，因此這三個一般是不同的，一個是概念性的，一般就是研究問題的一般化數學研究的問題的一般化一個是從歸納推理或者類比推理，從具體到一般是結論的，一般化論證的一般是從宮裡，一個就是我剛才說的過去幾盒給的兩點間直線最短，或者是這次給的a等于BB等于CA就等于傳遞性公理這些東西出發來說明問題，這樣的一半這些是家長能否您有30秒以内的給直播間回答一個問題。運用新課标要求來制定教學目标，就是我現在建議，如果可能的話，你們最好，不管是小學還是初中了，最好全年級的數學老師，我不是全校的數學老師在一起備幾天課，這個數學我跟你談了數學的抽象，是一步步抽象起來的，特别是我剛才說到了認識數的一緻性，就是從具體的一個情境認識的樹到一般性的數學表達，這個過程是循序漸進的過程，特别是運算，20位數以内的加減運算到萬以内數加減運算到分數運算，整個這個一緻這個過程，應該所有的老師都知道，因此我非常介意。整個學科的整個學校的數學老師在一起，知道整個這個數學的脈絡，是如何進展的，然後每個年級要備課就知道你這個年紀在整個脈絡中所占的地位是什麼，然後每個老師也都知道某一節課在這個地位中的具體地位是什麼，這樣的話才能把數學的教育整體一緻，同時核心素養的培養，整體一緻，這是非常重要的，因此，為了實現這個一個要知道數學的整體，你隻要知道核心素養的表現，就是抽象過程的整體邏輯推理過程的，整體這個有機的結合起來，知道用哪個知識來談哪個問題是恰如其分，恰到好處的，這些問題都研究清楚，這個教學就好，但是這個研究中絕對是絕對不是很短，時間很長，我想能有5年到10年能完成。這位老師這個問題這位老師可能是思考的比較深刻。一種是從歸納得到的一般。從歸納得到的一般那比如是這個哥德巴赫猜想從四六八十具體的偶數可以表示成素數之和。而到所有的偶數都可以表示為速度之和，這件事情就是從具體到一般。這個是結論，是一般的數學結論一般，這個一般和演繹推理從一般到特殊一般是不一樣的，演繹推理中的一般是從往往是從一個假設或者從公理出發。比如我們高中要講一加N分之一的N次方N區無窮大這個數列。收斂這件事情，你永遠證明不了。這個你怎麼能掙出來，你用定義永遠證明不了這個事情。所以數學測極限這個定義是那個定義，是一種形式化定義，你沒法這麼正，那怎麼辦？我我們必須建立一個公理，這個公理按照新新的說法，他希望建立這麼一公裡，我認為新興的說法是有道理，就是單調有界的有理數列必有極限。這是一個一般，通過這個一般我要數學證明，證明什麼？證明你給的那個數列，一加1/2的N次方，這個數列本身是單調有界。如果你證明完它是單調有界的，那麼根據這個一般結論。你這你你現在所說的數量也是有限，因此，這三個一般是不同的，一個是概念性的，一般就是研究問題的。一般化數學研究的問題的一般化，一個是從。歸納推理或者類比推理，從具體到一般是結論的一般化。論證的一般是從宮裡一個，就是我剛才說的，，過去幾盒兒給的兩點間直線最短，或者是這次給的a等于BB等于七，A就等于七，傳遞性公理這些東西出發來說明問題，這樣的一半，。謝謝，是要長還有能否您用30秒以内的給給直播間回答一個問題，如何運用新課标要求來制定教學目标。叫什麼，我現在建議，如果可能的話。你們最好小，不管是小學還是初中了，最好全年級的數學老師，不是全校的數學老師在一起被。聽課。這個數學我跟你談了數學的抽象。是一步步抽象起來的。特别是我剛才說到了認識數字一一次性，就是從具體的一個情景認識的數到一般性的數學表達，這個過程是循序漸進的過程，特别是運算從十。是20位數以内的加減運算到萬以内數加減運算到分數運算整數運算這個一緻這個過程。應該所有的老師都知道。因此我非常建議。整個學科，整個學校的數學老師在一起，知道整個你這個數學的脈絡，是如何進展起來。然後每個年級要備課，就知道你這個年紀在整個脈輪中所占的地。地位是什麼？然後每個老師應該知道某一節課在這個地位中的具體地位是什麼，這樣的話才能把數學的教育整體一緻，同時核心素養的培養整體一緻，這是非常重要的，因此。為了實現這個，一個要知道數學的整體，一次要知道核心素養的表現，就是抽象過程的整體，邏輯推理過程的整體，這個有機的結合起來，知道用哪個知識來談哪個問題是恰如其分、恰到好處的，這些問題都研究清楚，這個教學就好。但是這個研究金融絕對是，絕對不是很短時間内完成，我想能用五年到十年能夠完成這件事情。就是很好很好。

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