本文結合數學史和人類文明史談數學的起源。

動物也具有數學本能。

比如，蜜蜂建造的蜂巢，是嚴格的六角柱形體。它的一端是六角形開口，另一端則是封閉的六角棱錐體的底，由三個相同的菱形組成。這些蜂巢組成底盤的菱形的所有鈍角都是109°28′，所有的銳角都是70°32′。後來法國數學家克尼格和蘇格蘭數學家馬克洛林計算得知：如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是這個角度。

圖1

丹頂鶴遷徙總是成群結隊，而且排成“人”字形。這“人”字形的角度永遠是110°左右，如果計算更精确些，“人”字夾角的一半，即每邊與丹頂鶴群前進方向的夾角為54°44′08″。按照這個隊形，使得隊伍中的丹頂鶴最省力。

同樣地，人類從遠古走來，最開始是猿，從猿進化到人。因此，人在生存發展的過程中，必然要産生基本的數量需求和位置需求。比如，人生存好要吃肉，吃肉就要捕獵，可捕獵是有風險，當然誰也不願意受傷。那麼，就要思考這一個月需要吃幾頭豬，并且不用冒更大的風險捕獵更多的豬。而這對應着基本的數量需求。

另外，我們要有住的地方，不能直接挨着獅群住，也不能離水源太遠，還要考慮地勢高低，不能一下雨，住的地方就成了水坑。這就對應着基本的位置需求。

這就産生了基本的數量需求和位置需求。

産生了這些東西之後就希望有一種描述，于是數學從這個時候開始産生，但是非常的初淺。比如說，一個原始社會的一個群落或者一個山洞，這個山洞裡面我們到底有多少個人、我們打死了幾隻猴子、幾隻野豬等等這些東西都需要計量。再比如，我們還需要研究位置關系：我們所居住的山洞跟某一個河流構成了怎樣的位置關系，跟某一個岔路口構成怎樣的位置關系，當時這些問題都需要前人來解決。同時，我們還要解決場所的大小問題。比如說，我們這個山洞它究竟有多大，它究竟能夠容納多少人等等，這都是問題。這些問題發生了，于是人類開始産生最基本的東西。

比如說，最開始需要計量，于是産生了1、2、3、4等自然數。

為什麼稱之為自然數呢？

數學的定義都是經過嚴格推敲的，是要反映它的本質，給人以形象的理解。舉個稍複雜點的概念——支集，具體的定義為：一個函數f定義在集合X上，其中X的一個子集，滿足f恰好在這個子集上非0，那麼，這個集合稱為支集。這就好像X軸是地面，函數像人一樣從地面上支撐起來。

因為它是從大自然中來，自然産生的。有了數量需求，就想着表示。從最開始，不同的人有不同的發展，因為他是自然發生的。我們最開始就産生自然數，利用這個東西來計量。我們想想人類最開始有數學需求的時候，那個時候又沒有這些數字，于是那個時候隻能弄一個小繩。比如說，我打死一隻狍子，我在這個小繩上系個扣，我打死第二隻再系第二個扣……

等回來之後酋長問我：你今天戰果如何啊？我把那個小繩往外一掏，給你看這麼多個扣。問我戰果怎麼樣？你看有多少個小疙瘩，那麼戰果就有多少。所以那個時候人類生活是很不方便的，隻能通過那些小疙瘩來計數。而後來，發明了數，雖然這事對我們今天來講是很簡單一件事，在那個時候來講它極不簡單。

當人們對數的認識變得越來越明确時，人們覺得有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，于是就産生了計數。最開始的是采用手指計數，一隻手五根指頭表示5以内的事物的集合，兩隻手就表示10以内的事物的集合。正如亞裡士多德所言，我們今天十進制的廣泛采用就源于人生來就有10根手指這樣的解剖學結果。

随着人們對于數的需求越來越大，10以内的數已經不敷運用時，于是我們就出現了石子計數。但随之而又出現了一個很大的不便，計數的石子很難長久保存信息，容易出現丢失。所以随着發展又出現結繩計數和刻痕計數這兩種計數方式，這打開了我們計數發展的新局面，是一個跨越式的前進。

例如，在美國自然史博物館保存有古代南美印加部落用來記事的繩結：在一根較粗的繩子上栓系塗有顔色的細繩，再在細繩上打着各種各樣的結，不同顔色和結的位置、形狀表示不同的事物和數目。這種記事方法在秘魯高原一直盛行到19世紀，而日本的琉球島居民還仍然保持着結繩記事的傳統，足見結繩記事對于人類發展的重要意義。計數系的出現使數與數之間的書寫運算成為可能，在此基礎之上初等算術在幾個古老文明地區發展起來了。

圖2

數1、2、3、4……我把它排成順序，隻要記其中一個就行，根本不必要重複。比如說，打死了八隻狍子，1、2、3、4、5、6、7、8，我隻要能說出“8”，大家就能明白什麼意思。這就是最開始産生“數”。

但大家想想，在古代，那個時候還沒有面積的概念，但是人們還要描述事物的大小，你們說怎麼辦？我們現在就模仿一下古人。假如說我們現在沒有面積的概念，也沒有尺寸的概念，要描述一下這塊石闆有多大怎麼告訴我？最開始肯定用手臂比劃一下。但如果再遇到兩個情況就不好辦了：一個情況是，這個石闆遠遠比我的兩個手臂寬，怎麼辦？長和寬都要超過手臂能比劃的範圍，怎麼辦？另一種情況是你在五裡以外，發現這麼一塊石闆，你又不能見我的面，要通過一個小孩，來轉達我，怎麼辦？你可以想象很多種情況。在這個時侯就遇到困難。不要單說這麼大的石頭，還有的情況是：非常小，小的像一個小米粒那麼大，然後跟我“恩恩恩”，以手做比劃，我這麼比劃了半天，尤其是遠的同學，你也沒看明白什麼意思，是吧？我在這裡邊，說，有一種黃色的米，你啥也看不到，就是說，太小了你看不出來，超過你雙臂能比劃的範圍你也看不出來。在這個時侯，人類就想，我怎麼描述它呢？于是有一天，終于想出來，用長和寬的關系來描述面積，用長寬高的關系來描述體積。所以大家想，這個世界，我們今天所描述的東西，都不是憑空而來的。

很多數學基本概念的定義确定了數學未來發展的形式。

面積表示着平方的概念，如果是一塊面積。平方就是二維了，就涉及到以後的坐标系，并直接暗含着直角坐标系。如果，一開始面積表示不是平方，而是現在講的菱形，那麼，菱形坐标系該怎麼表示？

圖3 笛卡爾坐标系

其實呢，最開始借助的都是長乘寬。用長和寬相乘，用方的東西，不管是正方的，還是長方的，用一個方的東西定義了面積。但是以後即使不是方的，我也借助于方的來表達。所以，很多東西不是從來就是這樣的。如果我們善于從哲學角度想問題的話，你将會發現，在這裡不自覺地有這樣一個坐标關系。借助于一個直角坐标關系。那就是說，說明這個角是直角。你這麼定義面積。大家再想想，人類還可以換多種方式定義面積。比如說，現在的坐标軸都是這樣的一個角度的坐标軸，不是90°，而是60°，60°的坐标的話，我仍然可以建立坐标，那麼我仍然可以用60°的坐标這種關系建立面積的概念。如果人類最開始定義面積，用這種60°角（的坐标）來定義面積，那麼你們可以想象，我們今天的數學就不是今天這個樣子。所以數學它最後形成的形式，跟你最開始的定義方式是密切相連的。我們到了大學，讓我們做這樣一個不定積分，（sinx/x）的不定積分，覺得這個東西太難了。那麼這個不定積分原函數我們在數學上怎麼回答？原函數是存在的，但是我們不知道他如何表達，因此我們就說這個不定積分現在沒有。事實上，我們後來真的學了積分之後，我們發現要描述它非常容易。為什麼呢？因為我們隻要在一個很小的範圍内，我們把sinx進行泰勒展開。發現它就是這麼一個關系，你隻要把x跟它每一個除一下，它就變成了。我們發現把這個原函數找到，并且算一下計算就比較簡單。我們隻要找到了它，對它進行積分，就是一個幂函數積分，積出來還是個級數，非常簡單。一個用積分表達，計算起來也并不複雜的東西，為什麼我們通常表述就那麼難呢？這就說明我們今天的數學是沿着一特定的思路來定義下來的，來演繹下來的。假如說現在我們定義面積，我們是按60°定義或者按30°來定義而不是按90°來定義的話，這個時侯，你重新算sinx/x這個積分的時候，可能一下子積出來，這是個非常簡單的東西。而現在我們非常簡單的東西，那個時候就有可能變得非常複雜的東西。我們有些從事數學的人，在一些具體問題上能夠取得一定的成就，但是可以說，仍然處在一個“小家”的水平上，不能稱之為大家。問題就在于他們并不能夠用開闊的思想來思考數學，他們不知道數學為什麼是這個形式，他們不知道數學未來将會是什麼形式，他們不知道數學未來将怎樣發生革命。像牛頓、萊布尼茲、龐加萊、克萊因等大數學家，他們都是有很深的數學史、數學哲學功底的。

我們最開始由于數量的需要，産生了數字。後來由于要解決位置的問題，産生了歐幾裡得平面幾何。雖然中國人在古代并不知道歐幾裡得，但是中國人、希臘人和其他國家的人一樣都需要解決這些實際問題。

與算術的産生相仿，最初的幾何知識則是源于人們對于形的直覺中萌發出來的，史前人大概首先是從自然界本身提取幾何形式，在器皿制作、建築設計及繪畫裝飾中加以呈現。據研究，不同地區幾何的産生有不同的曆史背景。古埃及幾何學産生于尼羅河泛濫後土地的重新丈量，古印度的幾何學的起源則與宗教實踐密切相關，而古代中國幾何學的起源更多的與天文觀測相聯系，由此，我們也可以發現幾何學的出現離不開我們生産生活的需要。

圖4

一旦這些實際問題得到解決，對于我們現實生産生活是十分有益的。數字——自然數産生之後，我們想描述現實的情況變得有可能了。比如說，在我們這樣一個小區域内有多少棵楊樹呢，我們隻要查一下，有27棵楊樹。在一個小區域内有27棵楊樹，我隻要寫這樣一個數字就行了。注意，那個時候中國可沒有這樣一個數字，這是阿拉伯人發明的，阿伯人用這樣一個方式來描述，我們中國人不用這個方式，中國人用一橫兩橫來描述。阿拉伯人用這個“1、2、3、4、5……”來描述，羅馬人用“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……”來描述，而中國人用什麼來描述呢？中國人用 “一、二、三、四、五……”。

不同的民族有不同的描述方式，别看這個描述方式看起來很簡單，這裡的問題比較複雜。我們想想為什麼數學在西方比較發達？比如說像古希臘，羅馬，後來的法國、英國、德國等等，為什麼在這些國家，在西方率先發展起來了？為什麼中國古代曾經有燦爛輝煌的數學，為什麼近代沒有發展起來呢？古羅馬發展也受限制。一個很重要的原因是我們的數學表達形式太難了，或者用另一種說法叫沒有及時符号化。用一個簡單的例子，比如一千五百二十一加一千五百二十五，寫成“1521 1525”，列豎式運算，非常方便，但是按照我們的文字表達，加起來很困難，其他運算也是如此。

未完待續。

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