“花不盡,月無窮。兩心同。此時願作,楊柳千絲,絆惹春風”
立體幾何中與多面體相關的外接球問題,在近些年的高考中悄然興起,多以客觀題方式出現,解決此類問題可以有2個策略,其一,利用模型,借助長方體,四面體等幾何體,構建立體模型;其二,定位球心位置,通常兩個截面的外心垂線的交點,即為球心。事實上如果找到球心位置,自然就找到了半徑,外接球的問題自然就可解決。
今天介紹5個結論和8個模型,并配有相應的練習題,如果能依題意選取恰當的模型和結論,相信大家定能在外接球問題上披荊斬棘。
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結論1:長方體的外接球的球心在其體對角線的中點處.模型一 長方體
①“牆角模型”,在某個定點處的三條側棱兩兩垂直;
方法:将三條側棱分别看成長方體的長、寬、高,并設為a、b、c,則長方體的體對角線長度則為球的直徑!
公式:2R=√(a² b² c² )
例1 一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形,則該幾何體外接球的體積為( )
【解析】由三視圖知該幾何體為四棱錐,兩兩互相垂直,形似“牆角”,而正方體的體對角 線就是其外接球的直徑,故外接球的直徑,所以2r=√3.
練習1.1 已知點P,A,B,C,D是球O表面上的點,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2√3正方形.若PA=2√6,則△OAB的面積為______________.
【答案】3√3
練習1.2 若三棱錐的三個側棱兩兩垂直,且側棱長均為√3,則其外接球的表面積是 .
【答案】9π
②直三棱柱,并且底面為直角三角形
方法:補成相應長方體,求體對角線
公式:2R=√(a² b² c² )
例2 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BC=2√2,則三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面積為( )
A.36π B.28π C.16π D.12π
【解析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形,把直三棱柱ABC﹣A1B1C1補成長方體,則長方體的體對角線是其外接球的直徑,
練習2.1 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個頂點都在直徑為√61的球面上,且AB=3,AC=4,BC=5,點D是棱BB1的中點,則該四棱錐D﹣ACC1A1的體積為( )
A.24 B.32 C.36 D.72
【答案】A
③對棱相等三棱錐
方法:構造一個長方體,使得三棱錐的六條棱分别是長方體各個面的對角線.
解題步驟:1.設長方體長寬高為a、b、c,三棱錐的對棱分别是A、B、C
2. 列方程組
a² b²=A²
b² c²=B²
c² a²=C²
3.相加除以2後得:a² b² c²=1/2(A² B² C²)=(4R)²
例3 在三棱錐A- BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,則該三棱錐的外接球的表面積為___________
【答案】43π
練習3.1 在半徑為5的球面上有不共面的四個點A、B、C、D,且AB=CD=x,BC=DA=y,CA=BD=z,則 x2 y2 z2=( )
A.120 B.140 C.180 D.200
【答案】D
結論2:若棱錐側面有共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點為外接球的球心。模型二 有共斜邊的直角三角形
方法:尋找有公共斜邊的兩個直角三角形,斜邊中點為球心
例4 将長寬分别為3和4的長方形ABCD沿對角線AC折起直二面角,得到四面體A﹣BCD,則四面體A﹣BCD的外接球的表面積為( )
A. 25π B. 50π C. 5π D. 10π
【解析】ABC和ADC為兩個RT三角形,公共的斜邊是AC,則AC中點為外接球的球心,R=25/2
故選A
模型三 正棱錐模型
靜态展示
動态展示
其中r是底面圓外接圓半徑,d是球心到截面的距離,h是體高,R是球半徑
模型 直棱柱
①正棱柱模型--球心在上下面中心的連線的中點處
②一般直棱柱模型--球心在上下底面三角形外心的連線的中點處.
模型 一般三棱錐--過兩個面外心(外心較易找到)作垂線,垂線交點即為圓心
【解析】設AB的中點為M,由△ACB是等腰直角三角形,則M為△ACB的外心,可證PM⊥面ACB,故球心在直線PM上,延長PM交球于另外一點N,則PN為球的直徑,連接AN。
故選B
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