“花不盡，月無窮。兩心同。此時願作，楊柳千絲，絆惹春風”

立體幾何中與多面體相關的外接球問題，在近些年的高考中悄然興起，多以客觀題方式出現，解決此類問題可以有2個策略，其一，利用模型，借助長方體，四面體等幾何體，構建立體模型；其二，定位球心位置，通常兩個截面的外心垂線的交點，即為球心。事實上如果找到球心位置，自然就找到了半徑，外接球的問題自然就可解決。

今天介紹5個結論和8個模型，并配有相應的練習題，如果能依題意選取恰當的模型和結論，相信大家定能在外接球問題上披荊斬棘。

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模型一 長方體

①“牆角模型”，在某個定點處的三條側棱兩兩垂直；

方法：将三條側棱分别看成長方體的長、寬、高，并設為a、b、c，則長方體的體對角線長度則為球的直徑！

公式：2R=√（a² b² c² ）

例1 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為（　　）

【解析】由三視圖知該幾何體為四棱錐，兩兩互相垂直，形似“牆角”，而正方體的體對角 線就是其外接球的直徑，故外接球的直徑，所以2r＝√3．

練習1.1 已知點P,A,B,C,D是球O表面上的點,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2√3正方形.若PA=2√6,則△OAB的面積為______________.

【答案】3√3

練習1.2 若三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且側棱長均為√3，則其外接球的表面積是　　　　.

【答案】9π

②直三棱柱，并且底面為直角三角形

方法：補成相應長方體，求體對角線

公式：2R=√（a² b² c² ）

例2 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，BC＝2√2，則三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面積為（　　）

A．36π B．28π C．16π D．12π

【解析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1補成長方體，則長方體的體對角線是其外接球的直徑，

練習2.1 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個頂點都在直徑為√61的球面上，且AB＝3，AC＝4，BC＝5，點D是棱BB1的中點，則該四棱錐D﹣ACC1A1的體積為（　　）

A．24 B．32 C．36 D．72

【答案】A

③對棱相等三棱錐

方法：構造一個長方體，使得三棱錐的六條棱分别是長方體各個面的對角線．

解題步驟：1.設長方體長寬高為a、b、c，三棱錐的對棱分别是A、B、C

2. 列方程組

a² b²=A²

b² c²=B²

c² a²=C²

3.相加除以2後得：a² b² c²=1/2（A² B² C²）=（4R）²

例3 在三棱錐A- BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為___________

【答案】43π

練習3.1 在半徑為5的球面上有不共面的四個點A、B、C、D，且AB＝CD＝x，BC＝DA＝y，CA＝BD＝z，則 x2 y2 z2＝（　　）

A．120 B．140 C．180 D．200

【答案】D

模型二 有共斜邊的直角三角形

方法：尋找有公共斜邊的兩個直角三角形，斜邊中點為球心

例4 将長寬分别為3和4的長方形ABCD沿對角線AC折起直二面角，得到四面體A﹣BCD，則四面體A﹣BCD的外接球的表面積為（ ）

A． 25π B． 50π C． 5π D． 10π

【解析】ABC和ADC為兩個RT三角形，公共的斜邊是AC，則AC中點為外接球的球心，R=25/2

故選A

模型三 正棱錐模型

靜态展示

動态展示

其中r是底面圓外接圓半徑，d是球心到截面的距離，h是體高，R是球半徑

模型 直棱柱

①正棱柱模型--球心在上下面中心的連線的中點處

②一般直棱柱模型--球心在上下底面三角形外心的連線的中點處.

模型 一般三棱錐--過兩個面外心（外心較易找到）作垂線，垂線交點即為圓心

【解析】設AB的中點為M，由△ACB是等腰直角三角形，則M為△ACB的外心，可證PM⊥面ACB，故球心在直線PM上，延長PM交球于另外一點N，則PN為球的直徑，連接AN。

故選B

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