第一單元 負數

1、負數的由來：

為了表示相反意義的兩個量（如盈利虧損、收入支出……），光有學過的0 1 3.4 2/5……是遠遠不夠的。所以出現了負數，以盈利為正、虧損為負；以收入為正、支出為負

2、負數：小于0的數叫負數（不包括0），數軸上0左邊的數叫做負數。

若一個數小于0，則稱它是一個負數。

負數有無數個，其中有（負整數，負分數和負小數）

負數的寫法：

數字前面加負号“-”号，不可以省略

例如：-2，-5.33，-45，-2/5

正數：

大于0的數叫正數（不包括0），數軸上0右邊的數叫做正數

若一個數大于0，則稱它是一個正數。正數有無數個，其中有（正整數，正分數和正小數）

正數的寫法：數字前面可以加正号“ ”号，也可以省略不寫。

例如： 2，5.33， 45，2/5

4、0 既不是正數，也不是負數，它是正、負數的分界限

負數都小于0，正數都大于0，負數都比正數小，正數都比負數大

5、數軸：

6、比較兩數的大小：

①利用數軸：

負數＜0＜正數 或 左邊＜右邊

②利用正負數含義：正數之間比較大小，數字大的就大，數字小的就小。負數之間比較大小，數字大的反而小，數字小的反而大

1/3＞1/6 -1/3＜-1/6

第二單元 百分數二

（一）、折扣和成數

1、折扣：用于商品，現價是原價的百分之幾，叫做折扣。通稱“打折”。

幾折就是十分之幾，也就是百分之幾十。例如：八折=8/10=80﹪，

六折五=6.5/10=65/100=65﹪

解決打折的問題，關鍵是先将打的折數轉化為百分數或分數，然後按照求比一個數多（少）百分之幾（幾分之幾）的數的解題方法進行解答。

商品現在打八折：現在的售價是原價的80﹪

商品現在打六折五：現在的售價是原價的65﹪

2、成數：

幾成就是十分之幾，也就是百分之幾十。例如：一成=1/10=10﹪

八成五=8.5/10=85/100=80﹪

解決成數的問題，關鍵是先将成數轉化為百分數或分數，然後按照求比一個數多（少）百分之幾（幾分之幾）的數的解題方法進行解答。

這次衣服的進價增加一成：這次衣服的進價比原來的進價增加10﹪

今年小麥的收成是去年的八成五：今年小麥的收成是去年的85﹪

（二）、稅率和利率

1、稅率

（1）納稅：納稅是根據國家稅法的有關規定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。

（2）納稅的意義：稅收是國家财政收入的主要來源之一。國家用收來的稅款發展經濟、科技、教育、文化和國防安全等事業。

（3）應納稅額：繳納的稅款叫做應納稅額。

（4）稅率：應納稅額與各種收入的比率叫做稅率。

（5）應納稅額的計算方法：

應納稅額=總收入×稅率

收入額=應納稅額÷稅率

2、利率

（1）存款分為活期、整存整取和零存整取等方法。

（2）儲蓄的意義：人們常常把暫時不用的錢存入銀行或信用社，儲蓄起來，這樣不僅可以支援國家建設，也使得個人用錢更加安全和有計劃，還可以增加一些收入。

（3）本金：存入銀行的錢叫做本金。

（4）利息：取款時銀行多支付的錢叫做利息。

（5）利率：利息與本金的比值叫做利率。

（6）利息的計算公式：

利息＝本金×利率×時間

利率＝利息÷時間÷本金×100％

（7）注意：如要上利息稅（國債和教育儲藏的利息不納稅），則：

稅後利息=利息-利息的應納稅額=利息-利息×利息稅率=利息×(1-利息稅率)

稅後利息=本金×利率×時間×(1-利息稅率)

購物策略：

估計費用：根據實際的問題，選擇合理的估算策略，進行估算。

購物策略：根據實際需要，對常見的幾種優惠策略加以分析和比較，并能夠最終選擇最為優惠的方案

學後反思：做事情運用策略的好處

第三單元 圓柱和圓錐

一、圓柱

1、圓柱的形成：圓柱是以長方形的一邊為軸旋轉而得的。

圓柱也可以由長方形卷曲而得到。

兩種方式：

1.以長方形的長為底面周長，寬為高;

2.以長方形的寬為底面周長，長為高。

其中，第一種方式得到的圓柱體體積較大。

2、圓柱的高是兩個底面之間的距離，一個圓柱有無數條高，他們的數值是相等的

3、圓柱的特征：

（1）底面的特征：圓柱的底面是完全相等的兩個圓。

（2）側面的特征：圓柱的側面是一個曲面。

（3）高的特征 ：圓柱有無數條高

4、圓柱的切割：

①橫切：切面是圓，表面積增加2倍底面積，即S 增 =2πr²

②豎切（過直徑）：切面是長方形（如果h=2R，切面為正方形），該長方形的長是圓柱的高，寬是圓柱的底面直徑，表面積增加兩個長方形的面積，即S增=4rh

5、圓柱的側面展開圖：

①沿着高展開，展開圖形是長方形，如果h=2πr，則展開圖形為正方形

②不沿着高展開，展開圖形是平行四邊形或不規則圖形

③無論怎麼展開都得不到梯形

6、圓柱的相關計算公式：

底面積 ：S底=πr²

底面周長： C 底 = π d=2 π r

側面積 ： S 側 =2 π rh

表面積 ： S 表 =2S 底 S 側 =2 π r ² 2 π rh

體積 ： V 柱 = π r ² h

考試常見題型：

①已知圓柱的底面積和高，求圓柱的側面積，表面積，體積，底面周長

②已知圓柱的底面周長和高，求圓柱的側面積，表面積，體積，底面積

③已知圓柱的底面周長和體積，求圓柱的側面積，表面積，高，底面積

④已知圓柱的底面面積和高，求圓柱的側面積，表面積，體積

⑤已知圓柱的側面積和高，求圓柱的底面半徑，表面積，體積，底面積

以上幾種常見題型的解題方法，通常是求出圓柱的底面半徑和高，再根據圓柱的相關計算公式進行計算

無蓋水桶的表面積=側面積＋一個底面積油桶的表面積=側面積＋兩個底面積

煙囪通風管的表面積=側面積

隻求側面積：燈罩、排水管、漆柱、通風管、壓路機、衛生紙中軸、薯片盒包裝

側面積 一個底面積： 玻璃杯、水桶、筆筒、帽子、遊泳池

側面積 兩個底面積： 油桶、米桶、罐桶類

二、圓錐

1、圓錐的形成：圓錐是以直角三角形的一直角邊為軸旋轉而得到的。圓錐也可以由扇形卷曲而得到。

2、圓錐的高是兩個頂點與底面之間的距離，與圓柱不同，圓錐隻有一條高

3、圓錐的特征：

（1）底面的特征：圓錐的底面一個圓。

（2）側面的特征：圓錐的側面是一個曲面。

（3）高的特征：圓錐有一條高。

4、圓錐的切割：

①橫切：切面是圓

②豎切（過頂點和直徑直徑）：切面是等腰三角形，該等腰三角形的高是圓錐的高，底是圓錐的底面直徑，面積增加兩個等腰三角形的面積，

即S增=2rh

5、圓錐的相關計算公式：

底面積：S底=πr²

底面周長：C底=πd=2πr

體積： V 錐 =1/3 π r ² h

考試常見題型：

①已知圓錐的底面積和高，求體積，底面周長

②已知圓錐的底面周長和高，求圓錐的體積，底面積

③已知圓錐的底面周長和體積，求圓錐的高，底面積

以上幾種常見題型的解題方法，通常是求出圓錐的底面半徑和高，再根據圓柱的相關計算公式進行計算

三、圓柱和圓錐的關系

1、圓柱與圓錐等底等高，圓柱的體積是圓錐的3倍。

2、圓柱與圓錐等底等體積，圓錐的高是圓柱的3倍。

3、圓柱與圓錐等高等體積，圓錐的底面積(注意：是底面積而不是底面半徑)是圓柱的3倍。

4、圓柱與圓錐等底等高 ，體積相差2/3Sh

題型總結

①直接利用公式：分析清楚求的的是表面積，側面積、底面積、體積

分析清楚半徑變化導緻底面周長、側面積、底面積、體積的變化

分析清楚兩個圓柱(或兩個圓錐)半徑、底面積、底面周長、側面積、表面積、體積之比

②圓柱與圓錐關系的轉換：包括削成最大體積的問題(正方體，長方體與圓柱圓錐之間)

③橫截面的問題

④浸水體積問題：(水面上升部分的體積就是浸入水中物品的體積，等于盛水容積的底面積乘以上升的高度)容積是圓柱或長方體，正方體

⑤等體積轉換問題：一個圓柱融化後做成圓錐，或圓柱中的溶液倒入圓錐，都是體積不變的 問題，注意不要乘以1/3

第四單元 比例

1、比的意義

（1）兩個數相除又叫做兩個數的比

（2）“：”是比号，讀作“比”。比号前面的數叫做比的前項，比号後面的數叫做比的後項。比的前項除以後項所得的商，叫做比值。

（3）同除法比較，比的前項相當于被除數，後項相當于除數，比值相當于商。

（4）比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。

（5）比的後項不能是零。

（6）根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，後項相當于分母，比值相當于分數值。

2、比的基本性質：比的前項和後項同時乘或者除以相同的數（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。

3、求比值和化簡比：

求比值的方法：用比的前項除以後項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以是小數或分數。

根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、後項是互質的數。

4、按比例分配：

在農業生産和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然後求出總數的幾分之幾是多少。

5、比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個數，叫做比例的項。

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做内項。

6、比例的基本性質：在比例裡，兩個外項的積等于兩個兩個内項的積。這叫做比例的基本性質。

7、比和比例的區别

（1）比表示兩個量相除的關系，它有兩項（即前、後項）；比例表示兩個比相等的式子，它有四項（即兩個内項和兩個外項）。

（2）比有基本性質，它是化簡比的依據；比例也有基本性質，它是解比例的依據。

8、成正比例的量：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。

用字母表示x/y=k（一定）

9、成反比例的量：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。

用字母表示x×y=k（一定）

10、判斷兩種量成正比例還是成反比例的方法：

關鍵是看這兩個相關聯的量中相對就的兩個數的商一定還是積一定，如果商一定，就成正比例；如果積一定，就成反比例。

11、比例尺：一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。

12、比例尺的分類

（1）數值比例尺和線段比例尺 （2）縮小比例尺和放大比例尺

13、圖上距離：

圖上距離 / 實際距離=比例尺

實際距離×比例尺 = 圖上距離

圖上距離÷比例尺 = 實際距離

14、應用比例尺畫圖的步驟：

（1）寫出圖的名稱、

（2）确定比例尺；

（3）根據比例尺求出圖上距離；

（4）畫圖（畫出單位長度）

（5）标出實際距離，寫清地點名稱

（6）标出比例尺

15、圖形的放大與縮小：形狀相同，大小不同。

16、用比例解決問題：

根據問題中的不變量找出兩種相關聯的量，并正确判斷這兩種相關聯的量成什麼比例關系，并根據正、反比例關系式列出相應的方程并求解。

17、常見的數量關系式：（成正比例或成反比例）

單價×數量=總價

單産量×數量=總産量

速度×時間=路程

工效×工作時間=工作總量

18、

已知圖上距離和實際距離可以求比例尺。

已知比例尺和圖上距離可以求實際距離。

已知比例尺和實際距離可以求圖上距離。

計算時圖距和實距單位必須統一。

19、播種的總公頃數一定，每天播種的公頃數和要用的天數是不是成反比例？

答：每天播種的公頃數×天數=播種的總公頃數

已知播種的總公頃數一定，就是每天播種的公頃數和要用的天數的積是一定的，所以每天播種的公頃數和要用的天數成反比例。

第五單元 數學廣角-鴿巢問題

1、鴿巣原理是一個重要而又基本的組合原理, 在解決數學問題時有非常重要的作用

①什麼是鴿巣原理, 先從一個簡單的例子入手, 把3個蘋果放在2個盒子裡, 共有四種不同的放法, 如下表

放法 盒子1 盒子2

1 3 0

2 2 1

3 1 2

4 0 3

無論哪一種放法, 都可以說“必有一個盒子放了兩個或兩個以上的蘋果”。 這個結論是在“任意放法”的情況下, 得出的一個“必然結果”。

類似的, 如果有5隻鴿子飛進四個鴿籠裡, 那麼一定有一個鴿籠飛進了2隻或2隻以上的鴿子

如果有6封信, 任意投入5個信箱裡, 那麼一定有一個信箱至少有2封信

我們把這些例子中的“蘋果”、“鴿子”、“信”看作一種物體，把“盒子”、“鴿籠”、“信箱”看作鴿巣, 可以得到鴿巣原理最簡單的表達形式

②利用公式進行解題：

物體個數÷鴿巣個數=商……餘數

至少個數=商 1

2、摸2個同色球計算方法。

①要保證摸出兩個同色的球，摸出的球的數量至少要比顔色數多1。

物體數＝顔色數×（至少數－1）＋1

②極端思想： 用最不利的摸法先摸出兩個不同顔色的球，再無論摸出一個什麼顔色的球，都能保證一定有兩個球是同色的。

③公式：

兩種顔色：2＋1＝3（個）

三種顔色：3 ＋1 ＝4 （個）

四種顔色：4 ＋1 ＝5 （個）

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