常言說得好：失之毫厘，謬之千裡。

一顆人造衛星，要送到地球上空的預定軌道，離不開精密的數學計算。百層摩天大廈能夠拔地而起，沒有準确的數學計算，也是難以想象的。

數學一向以嚴密、精确著稱。然而，在20世紀60年代，卻偏有一個叫“模糊數學”的數學新分支異軍突起。

難道數學計算無須精密準确而需要“模模糊糊”？當然不是。自然科學的學科，隻有當它們能夠使用數學語言描述的時候，才談得上成熟。在恩格斯的那個年代，數學在生物學上的應用還幾乎為零。然而如今的生物學，已全然離不開數學。就連許多社會科學，也在不斷追求定量化和數學化。那麼，為什麼在此時此刻反而半路殺出一個“模糊數學”呢? 這還得從兩種不同的概念講起。

在日常生活中，我們遇到的概念不外乎兩類。一類是清晰的概念，對象是否屬于這個概念是明确的。例如，人、自然數、正方形等。要麼是人，要麼不是人；要麼是自然數，要麼不是自然數；要麼是正方形，要麼不是正方形。非此即彼。

另一類概念對象從屬的界限是模糊的，随判斷人的思維而定。例如，美不美、早不早、便宜不便宜等。西施是我國古代公認的美女，但有道是“情人眼裡出西施”，這就是說，在一些人看來未必那麼美的人，在另一些人眼裡，卻美得可以與西施相比拟。可見，“美”與 “不美”是不存在一個精确的界限的。

再說“早”與“不早”，清晨5點，對于為都市“梳妝打扮”的清潔工人來說可能算是遲了，但對于大多數人來說，卻是很早的。至于便宜不便宜，那更是随人的感覺而異了！

在客觀世界中，諸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。對于這類模糊現象，過去已有的數學模型難以适用，需要形成新的理論和方法，即在數學和模糊現象之間架起一座橋梁。這就是我們要講的“模糊數學”。

加速這座橋梁架設的是計算機科學的迅速發展。大家知道，人的大腦具有非凡的判别和處理模糊事物的能力。就拿一個孩子識别自己的母親為例，即使這位母親更換了新衣，改變了發型，她的孩子依然會從高矮、胖瘦、音容、姿态等迅速地做出準确判斷。

如果這件事讓計算機來幹，那就非得把這位母親的身高、體重、行走速度、外形曲線等，全都計算到小數點後的十幾位，然後才能着手判斷。這樣的“精确”實在是事與願違，走到了事物的反面。

說不定就因為這位母親臉上一時長了一個小疖，該部位的平均高度比原來高了零點零幾毫米，而使計算機做出“拒絕接受”的判斷！難怪模糊數學的創始人、美國加利福尼亞大學教授、自動控制專家L.A.紮德(L.A.Zadeh,1921—2017) 說:“所面對的系統越複雜，人們對它進行有意義的精确化的能力就越低。”

他生動地舉了一個停車問題的例子，他說，要把汽車停在擁擠停車場的兩輛汽車之間的空地上，這對有經驗的司機來說，并非什麼難事。但若用精确的方法求解，即使是一台大型電子計算機也不容易。

那麼，要使計算機能夠模仿人腦，對複雜系統進行識别和判斷，出路在哪裡呢?

紮德教授主張在極度的複雜性面前，從精度方面“後退”一步。他提出用隸屬函數使模糊概念數學化。例如 “秃頭”，這顯然是一種模糊概念。

上圖有5種頭發的類型。

(a)的頭沒有一點頭發,自屬标準“秃頭”隸屬程度為1；

(d)的頭是典型秃頂，所以“秃”的隸屬程度可定為0.8；

(c)的頭上，長滿了烏黑的頭發，根本與“秃”沾不上邊，所以“秃”的隸屬程度為0；

(b)與(e) 的“秃”，比之(a)、(d)則不足，比之 (c)則有餘,隸屬程度可分别定為 0.5和0.3。

這樣“秃”這個模糊概念就可以用以下的方法定量地給出定義: [秃頭]=1/a 0.5/b 0/c 0.8/d 0.3/e

這裡的“ ”和“/”，不是通常的相加和相除,隻是一種記号。“1/a” 表明狀态a的隸屬程度為“1”,“ ”則表示各種情況的并列。

下面我們再看“年輕”和“年老”這兩個模糊概念。

紮德教授本人根據統計資料，拟合了這兩個概念的隸屬函數圖像。圖中橫坐标表示年齡，縱坐标表示隸屬程度。

例如，從坐标圖可以看出，50歲以下的人不屬于“年老”，而當年齡超過50歲時，随着歲數的增大，“年老”的隸屬程度也越來越大。

“人生七十古來稀”，70歲的人“年老”的隸屬程度已達94%。同樣，在坐标圖中我們可以看到，25歲以下的人，“年輕”的隸屬程度為 100%,超過25歲,“年輕”的程度越來越小。40歲已是“人到中年”,“年輕”的隸屬程度隻有10%。假如有人問你：“你的數學老師年輕嗎?”而你的回答卻是: “他‘年輕’的隸屬程度為25%。”這樣的答案自然不會有錯，但顯然是很别扭的。

為了使人産生一種确切的印象，我們可以固定一個百分數，例如40%，隸屬程度大于或等于40%的都叫“年輕”，反之就不叫“年輕”。

在這種前提下，你對你朋友的回答也就是肯定的了，你可以明白地告訴你的朋友，你的數學老師不年輕。因為這時“年輕”一詞，已從模糊概念轉為明确的概念。

當然，作為隸屬程度分界線的那個固定百分數，是應當通過科學的分析，或者通過民意測驗的統計來選取的。

再舉中國古代史的分期為例，“奴隸社會”是個模糊概念。

[奴隸社會]=1/夏 1/商 0.9/西周 0.7/春秋 0.5/戰國 0.4/秦 0.3/西漢 0.1/東漢

取0.5的隸屬程度作為奴隸社會的劃分界限，那麼屬于奴隸社會的，就該是夏、商、西周、春秋和戰國。秦、漢則不屬于奴隸社會。

在精确數學中,“非常”“很”“不”等詞是很難用數量加以表述的。但在模糊數學中，卻可以讓它們定量化。例如,“很”表示隸屬程度的平方,“不”則表示用1減去原隸屬度等。如30歲屬于“年輕”的隸屬程度為0.5，那麼屬“很年輕”的隸屬程度就隻有(0.5)²=0.25，而“不很年輕”的隸屬程度則為1-(0.5)²= 0.75

上面我們看到，在對事物的模糊性進行定量刻畫的時候，同樣需要用到概率統計的手段和精确數學的方法。由此可見，“模糊數學”實際上并不模糊。

模糊數學的誕生，把數學的應用領域從清晰現象擴展到模糊現象，從而使數學闖進了許多過去難以達到的“禁區”。用模糊數學的模型來編制程序，讓計算機模拟人腦的思維活動，已經在文字識别、疾病診斷、氣象預測、火箭發射等方面獲得了成功, 前景十分誘人。

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來源：原點閱讀

編輯：藏癡

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