在公務員考試的數量關系闆塊，容斥問題往往作為一個高頻考點出現，而容斥問題往往有兩種考察形式：二集合容斥問題和三集合容斥問題。今天我們主要談談二集合容斥問題的解題技巧。

二集合容斥問題往往是題幹内容比較長且比較複雜，涉及到多個主體之間的關系，總是讓很多考生頭疼難堪，但是如果掌握到技巧，這類題目往往可以快速“秒殺”，今天就帶大家學習兩集合容斥的解題方法。

首先需要識别一下二集合容斥的題型特征。咱們先來看幾道例題：

【例1】(2017江西)某鄉有32戶果農，其中有26戶種了柚子樹，有24戶種了橘子樹，還有5戶既沒有種柚子樹也沒有種橘子樹，那麼該鄉同時種植柚子樹和橘子樹的果農有：

【例2】(2018廣州)籃子裡有蘋果和梨子兩種水果若幹個，将這些水果分發給13人，每人最少拿一個，最多拿兩個不同的水果。已知有9個人拿到了蘋果，有8人拿到了梨，最後全部分完。那麼，有( )人隻拿到了蘋果。

【例3】(2014浙江)某委員會有成員465人，對2個提案進行表決，要求必須對2個提案分别提出贊成或反對意見。其中贊成第一個提案的有364人，贊成第二個提案的有392人，兩個提案都反對的有17人。問贊成第一個提案且反對第二個提案的有幾人?

上述的幾道題，都是屬于二集合容斥的題目，我們不難發現，這一類題目都具備一個共性，涉及兩個主體(或集合)，讨論的也是兩個主體(或集合)相互之間的包含關系，這就是二集合容斥問題的題型特征。

接下來，需要了解如何解這一類題型。

方法一：圖示法。

适用範圍：所有二集合容斥的題目。

步驟：根據圖形各區域面積之和等于總面積構建等式。

重點：标記順序從中心到兩邊，有數寫數無數标記。

缺點：由于需要畫圖，耗時比較長。

接下來我們使用圖示法來解一道題目。

【例2】(2018廣州)籃子裡有蘋果和梨子兩種水果若幹個，将這些水果分發給13人，每人最少拿一個，最多拿兩個不同的水果。已知有9個人拿到了蘋果，有8人拿到了梨，最後全部分完。那麼，有( )人隻拿到了蘋果。

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【答案】D

【解析】

第一步，本題考查二集合容斥問題，可以使用圖示法解題。

第二步，将拿蘋果的人數視為集合A，拿梨的人數視為集合B，使用圖示法可得：

第三步，解方程：9-x x 8-x=13，可得x=4，而問的是隻拿了蘋果的人數，所以答案=9-x=5。

因此，選擇B選項。

方法二：公式法。

公式：總人數-都不滿足的人數=A B-AB

适用範圍：上述5個量知4求1。

缺點：适用性比圖示法窄。

接下來我們使用公式法來解一道題目。

【例1】(2017江西)某鄉有32戶果農，其中有26戶種了柚子樹，有24戶種了橘子樹，還有5戶既沒有種柚子樹也沒有種橘子樹，那麼該鄉同時種植柚子樹和橘子樹的果農有：

A. 23戶

B. 22戶

C. 21戶

D. 24戶

【答案】A

【解析】

第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類。

第二步，設同時種植柚子樹和橘子樹的果農有x戶，根據二集合容斥公式，可得32-5=26 24-x，解得x=23。

因此，選擇A選項。

以上就是解決二集合容斥問題的方法介紹，活用圖示法和公式法，可以讓我們在考場上更快更準地求出二集合容斥問題的答案。

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