在數學領域中，可能沒有其他分支學科能像三角學一樣始終占據着中心位置。—— 赫伯特

角和圓

➣ 角代表了什麼？

在紙上随便畫出個角，很容易就發現角是由兩條射線确定的，或者說是由一條射線轉動形成的。轉動的幅度就是角度。

➣你有沒有想起一個幾何圖形？

圓是怎麼定義的呢？線段轉 1 圈，軌迹就是圓。

角和圓關系很大，都是轉動形成的，隻不過形成圓的線長度是固定的；形成角，隻要是線就可以。

➣ 圓和角有什麼關系呢？

圓是角的特殊情況，但增加了三個限制條件：

1. 轉動主體是線段，而不是射線。也就是說轉動的主體長度是有限的，是收斂的。
2. 在轉動的過程中，線段的長度是不變的。
3. 轉動幅度有限制，當轉回原點時停止，也就是轉了一圈。

➣ 第 1 個限制産生了什麼作用？

這會讓轉動的過程形成曲線軌迹。

這個限制産生了一種“收斂”的作用，角和圓弧的關系，就好像射線和線段的關系一樣，“弧”是在角上增加均勻的距離限制産生的。

所以，很容易就會想到“弧”和“角”是對應的，“弧”隻不過是把“角”這個發散的形狀收斂了。

➣ 第 2 個限制産生了什麼作用？

這會讓轉動的過程形成優美簡潔的“圓弧”曲線。圓給人一種簡潔優美的感覺，因為它是均勻的，上面的每一個點到中心的距離都是一緻的。如果沒有這個限制，那麼運動軌迹可能是一團亂麻。

➣ 第 3 個限制産生了什麼作用？

剛好轉了一圈，如果從靜止角度來看，平面上最大的角就是圓所對應的角，任何其他的角都可以表示在圓中。

自然而然的就要把“周角” 平均分割 來作為“角度”的單位；又因為圓是均勻變化的簡潔優美的圖案，所以研究角的時候經常要放到圓形中去研究。

所以說，“圓”是一個研究“角”的平台，早期的三角學是建立在“單位圓”基礎上的。習慣上把“圓”這種特殊的角叫做“周角”。

➣怎麼樣度量角的？

最常見的單位就是“度”，在右上角有一個小圓圈 °。把一個周角等分 360 等份，其中的每一份就叫做 1 。

其實仔細想一下就覺得很奇怪，因為其他公制單位都不是 360 進制的，唯獨角度是 360 進制。這到底是怎麼回事呢？具體的緣由已不可考，但可以知道的是這種表示方法是古巴比倫人最先使用的，他們的計量進制正好是 60 進制，也許與此有關吧。[3]

➣ 弧度是怎麼出現的？有什麼好處呢？

在數學和物理中，我們最常用的其實是弧度而不是角度；國際單位制中就是用的弧度(rad)。

之所以用弧度，是因為“弧線”它是個兩面派，從度量角度來說，它是“線”，可以用公制度量“長度”來描述，但是從性質上來說屬于轉動，因為弧是角限制距離形成的，幾乎就是一回事。

所以就直接用單位圓(r=1)的弧長來描述角度，這和國際單位兼容得很好，在弧度制下，公式變得非常簡潔，所以弧度制這才是數學和科學中最主流的。

比如，用弧度描述半徑為 r 的圓的周長 s 就是：s=rθ，因為弧度 θ 就是單位圓的弧長，我們要描述的是半徑為 r 的圓，自然就是 r ×θ ；如果用角度來描述就麻煩多了，s= πrθ/180 。

➣ 為什麼會這麼麻煩呢？

單位圓的周長是 2π，所以 2π=360°，1 弧度就是 180°/π，故

弧就是圓的一部分，所以在描述最基礎的圖形之一——圓的時候，就非常簡潔；而用角度就占不到任何優勢了。

弦

不過就算是弧度制，想知道角的具體度數也是非常難的。如果角度很小，就畫在一張紙上，那可以簡單的用尺子量一下。

但如果要建造一個建築物，怎麼樣才能保證牆壁的傾斜角度是一緻的呢？

尺度稍微放大一點，之前測量角度的方法就不靈了，所以我們急需一個更簡單的角度測量和比較。

➣ 那為什麼不直接測量弧長呢？

因為弧是一個曲線，曲線的長度并不好測量。既然是這樣，我們很自然的就會想到，彎的不好了，那我們可以量直的呀。

這個想法如此自然，以至于世界各地的古文明幾乎都會想到弦這個概念。我們中國人用弓弦來命名這條弦；西方人則用琴弦(Chord)。[4]

➣怎麼通過弦長得知角度？

角度的變化和弧線的長度變化是對應的，它們都是旋轉的結果，是成比例的，所以他們之間的關系也就是正比例函數(一次函數)：

。如果半徑确定，那麼角度和弦長就一一對應。

但是線和它們并不是一夥的，線屬于延長，角屬于旋轉，所以長度的增加和角度的增加并沒有一個簡單的比例。

定量的描述并不容易，不過定性就簡單多了。

在半徑确定的情況下，如果兩個弦長是一樣的，角也是一樣的；或者說通過半徑和弦長(兩個線段)的比值[2]，就可以定性的判斷角是否相等。

▌金字塔中的原始三角學

仔細看看金字塔的圖，你會發現它居然是一個非常完美的正四棱錐，對于 4000 年前的人來說，在施工中保持牆壁傾角的統一，似乎是一件不怎麼容易的事情，他們到底是如何做到的呢？

有 4000 年曆史的金字塔身上有很多謎團，不過幸運的是這個問題，我們已經知道了答案。

➣金字塔的秘密是如何被揭開的呢？

因為發現了一本古埃及的數學教科書，而最後一個問題又和數學緊密相關，這本書就是《萊因德數學紙草書 》，是已知年代最久遠，内容最廣泛的數學文獻，第56題到第60題都是關于金字塔的内容。[1]

金字塔高 250 腕尺，底邊長 360 腕尺，它的“塞克特”是多少？

➣“塞克特”是什麼意思？

從後面的解答來看，“塞克特”是金字塔 高度 h 與 邊長的一半 a/2，的比值。知道了這兩條線段的長度，也就确定了傾角 θ 。

➣那麼具體是如何操作的呢？

之所以不通過測量斜邊，而是通過測量高度和底邊長度來比較傾角，是因為在施工中後面的兩個量是容易得到的。

仔細看金字塔的圖篇，會發現其表面并不是光滑的，而是台階狀的。每當施工出一個台階之後，就會知道這個台階的高度 Δh ，從上面垂下繩子，就能測量 Δh 對應的底邊長度 Δa ，從而計算出“塞克特”，保證這個值和預期的一緻，也就保證了施工的質量。

建造金字塔時保證傾角相等，就是通過兩條線段來測量推算角度的過程。

古埃及人用三角學建造金字塔，中國人則用它計時。

日晷所要測量的是太陽與地平線的夾角，已知日晷“規”的長度，再測其影子的長度，太陽的夾角知道了，背後對應的時間也就知道了。

原始的三角學不僅讓金字塔得以施工，還能夠讓後世的法老知道金字塔到底有多高。

測量金字塔高度的過程，就是通過角度和一條線段的長度，來推算另一條線段長度的過程。

總結

1. 角的度量：角的常用單位有兩個，角度是等分周角360份産生的；弧度是圓弧的長度。弧度在科學中更常用，因為會讓公式更簡潔。
2. 圓弧和角的關系：圓弧是角均勻收斂産生的軌迹。
3. 原始三角學：祖先們意識到了角度和長度之間是有關系的，并且利用這種關系來計時和建造金字塔，但是他們的認識僅限于定性。

注釋

[1] 其實最初的時候，人們并不知道上面的文字代表什麼，因為埃及的象形文字早就已經失傳了，沒有人能夠讀懂。用文字破譯之後，大量的埃及文獻才得以被翻譯。象形文字的破譯又是一段傳奇的故事，是托馬斯 · 楊、商博良和羅塞塔石碑之間的故事。

[2] 任何兩條線段都可以看成是圓的半徑 r 和弦 s ，半徑确定圓的大小後，弦決定就決定旋轉角度。值得注意的是，我們的讨論幾乎都是在“單位圓”(比例)中進行的，為的就是排除“半徑不确定”(等比放大)這個幹擾因素，直接讨論這個關系的本質。這種思考方法非常像科學研究中的“控制變量”。

[3] 時間單位也是 60 進制，估計是因為鐘表就是圓形的。

[4] “正弦”并不是這裡的“弦”，後面會談到。

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