大約在1637年，費馬在一本書的空白處随手寫下的一個認為自己可以巧妙證明的數學猜想，沒想到竟困惑了無數頂尖數學家350多年。

皮埃爾·德·費馬是17世紀法國的一名律師，工作之餘喜歡鑽研數學，做出了許多偉大的數學成就，所以被稱為“業餘數學家之王”。他在看一本公元三世紀數學家丢番圖寫的《算術》時，在“一個平方數等于兩個平方數之和”的問題旁的空白處，潦草寫道：另一方面，不可能将一個立方數表示成兩個立方數之和，或者将一個四次幂表示成兩個四次幂之和；或者總的來說，不可能将一個高于二次的任意次幂表示成兩個同次幂之和。我已經發現了一個對此命題的絕妙證明，可惜空白的地方太小，寫不下。

費馬的這個猜想用現代數學符号可以表示成：

沒有整數解（n>2）。

這就是著名的費馬猜想。這個猜想在常人看來有點不可思議，這個方程在n＝2時就是畢達哥拉斯定理（在中國稱為勾股定理）： ，而滿足畢達哥拉斯定理的整數解有無窮多組，怎麼幂指數n一超過2，在無窮的非零自然數裡面就再也找不到哪怕三個數來使方程成立了呢？由此大數學家的強大洞察力可見一斑。

費馬自己證明了n=4的情形，即證明了方程沒有整數解。自費馬提出這個著名猜想之後，許多數學家都投入了證明這個猜想的艱難探索中。大概一個世紀後，歐拉于1753年修改了費馬的方法，提供了方程無整數解的證明。雖然進展緩慢得讓人沮喪，但是以下事實可能給人一點安慰：對于費馬方程，如果證明了n等于某個數時無整數解，那麼n為這個數的倍數也無整數解。比如證明了n=3的情形，也就自動證明了n等于3的倍數（6，9，12，15，18，…）的情形。

可是這樣證明單個數字的方法終究無法解決費馬猜想，尋找一般性解決辦法是必要的。19世紀初，女數學家索菲·熱爾曼提出一個一般性證明方法，這種方法可能一次提供許多種情形下的證明，即當n為(2p 1)也是質數的那類質數p(例如p=5)時，費馬方程不太可能有整數解。這類質數後來也被稱為熱爾曼質數。熱爾曼是那個時代的傑出女性代表，在那個歧視女性的時代取得如此巨大成就尤為艱難。

1825年，勒讓德和狄利克雷分别基于熱爾曼的方法，獨立證明了n=5的情形沒有整數解。

1839年，加布裡爾·拉梅對熱爾曼的方法做了補充，證明了n=7時無整數解。

1847年，拉梅和柯西都宣布自己即将證明費馬猜想。庫默爾指出他們的證明方法不可行，并自己證明了n<100中除n=37，59，67這三個質數外，費馬方程無整數解。

第二次世界大戰之後，計算機的出現為證明費馬猜想提供了強大的計算工具。随後，數學家很快證明了在n<1000時費馬猜想是對的。1976年，薩缪爾·S·瓦格斯塔夫證明了費馬猜想在n<125000時成立。之後這個範圍提高到了400萬。

即使把範圍提高到400億，400萬億也無濟于事，因為要證明的是費馬猜想對n為3到無窮大的所有自然數都是對的。對于費馬猜想，無論被證明的n的值範圍多大，隻要是有限的，後面依然有無窮多的n的值有待證明。要完全證明費馬猜想，還有巨大的距離需要跨越。

費馬猜想懸而未決，但是随着數學的發展，可能用于解決費馬猜想的數學工具陸續被一代又一代的數學家發現，有些數學家可能都沒有想到自己的成果可以為解決費馬猜想提供強大助力。

證明費馬猜想的邏輯——反證法

面對無窮多的數組（x，y，z）和無窮多的幂指數n，似乎反證法是一個不錯的嘗試選擇。1984年，格哈德·弗賴假設費馬方程 (n>2)有至少一個整數解，并假設這個解為A，B，C，則有 ，經過一系列處理之後，具有假設解的費馬方程就被轉變成了一個橢圓曲線的方程 （橢圓曲線的方程的形式為 ）。通過研究這條橢圓曲線，弗賴提出了一個自己還未能證明的推斷：這個橢圓曲線的方程非常稀奇古怪，絕對不可能有對應的模形式。因此這條橢圓曲線不滿足谷山—志村猜想，如果谷山—志村猜想是正确的，這樣就反證了費馬猜想成立。

橢圓曲線

什麼是谷山—志村猜想呢？早在20世紀50年代，日本數學家谷山豐和志村五郎提出了一個猜想：每一條橢圓曲線都可以用一個模形式來表達。也就是說所有的橢圓曲線和模形式都是一一對應的。模形式是一類遵循某種群對稱性的複變函數，其關鍵特點是具有豐富的對稱性。

模形式

弗賴提出的使用反證法來證明費馬猜想的具體邏輯過程如下：假設費馬方程有整數解，根據假定解将費馬方程轉化為一條橢圓曲線，得到的橢圓曲線很奇怪以至不可能有對應的模形式，這條橢圓曲線若存在将與猜測每一個橢圓曲線必定有對應模形式的谷山—志村猜想相矛盾。而如果谷山—志村猜想是正确的，那麼這條橢圓曲線就不存在，關于費馬方程有解的假設就是錯誤的，即費馬方程沒有解，由此證明了費馬猜想。簡化起來就是，假設費馬方程有解的結果，根據谷山—志村猜想會對應到一個推斷不存在的模形式，證明谷山—志村猜想成立和對應的模形式不存在，費馬方程就無解了。

這樣，弗賴最先将谷山—志村猜想和費馬猜想的證明聯系了起來。1986年，肯·裡貝特證明了弗賴的那條奇怪的橢圓曲線确實沒有對應的模形式。接下來，隻要證明了谷山—志村猜想，費馬猜想就得以證明了。

懷爾斯的成果

如何證明谷山—志村猜想，即證明所有的橢圓曲線和模形式是一一對應的呢？這個猜想的證明極其困難，因為橢圓曲線和模形式在數學中屬于完全不同的領域，看起來也非常不相關，而且需要證明的橢圓曲線和模形式的數量是無窮的，證明兩者之間的對應關系幾乎無從下手。數學家們努力試過了，就是不能找到一一對應的方法，絕大部分數學家相信谷山—志村猜想是完全無法接近的，在可見的未來不可能解決。已經為費馬猜想的證明做出重要工作的肯·裡貝特甚至連嘗試的想法都沒有。

安德魯·懷爾斯是極少數幾個敢于挑戰的勇士之一。他從10歲時接觸到費馬猜想後就一直被其深深吸引，證明費馬猜想是他童年的夢想。1986年，他在得知肯·裡貝特做出的進展之後，就馬上投入了證明谷山—志村猜想的研究工作之中。

懷爾斯花了一年時間來仔細思考證明的基本策略，最終決定采用歸納法，因為對于無窮的情形，歸納法是一種極有效的證明方法。使用歸納法證明某個命題時，隻要證明了該命題對第一種情形是對的，然後再證明如果該命題對于任意一種情形是對的，那麼它對下一種情形也必定是對的。這就有點像玩多米諾骨牌，把骨牌排成一行之後，碰倒第一枚骨牌，就會使其餘骨牌産生連鎖反應，一個接一個地倒下。這樣，歸納法就可以證明無窮的情形。

懷爾斯的關鍵突破在于發現伽羅瓦的工作可以作為其證明谷山—志村猜想的基礎。伽羅瓦群是橢圓曲線和模形式連接起來的橋梁。懷爾斯先把橢圓曲線和模形式轉換為伽羅瓦表示，然後再證明它們是同構關系。他把橢圓曲線的方程拆成無窮多項，然後證明了每一條橢圓曲線的第一項必然是一個模形式的第一項。也就是懷爾斯已經能推倒第一枚多米諾骨牌了。

接下來就要證明歸納法的第二步：如果命題對于任意一種情形是對的，那麼它對下一種情形必定也是對的。懷爾斯最初是考慮岩澤理論，但是岩澤理論并不能給予他所需要的證明，所以他放棄岩澤理論而選擇了當時最前沿的科利瓦金-弗萊切方法。他将科利瓦金-弗萊切方法加以改進後，證明了如果每一條橢圓曲線的任意一項與一個模形式的對應項相配，那麼下一項也是如此。即證明了如果任意一塊多米諾骨牌被推倒，則将推倒下一塊骨牌，這樣就保證了能産生一個碰倒一個的連鎖反應。至此，懷爾斯完成了谷山—志村猜想的證明，所以也完成了費馬猜想的證明。

1993年6月，懷爾斯在劍橋的一個數論方面的工作報告會上以演講的方式宣告他的證明，引起了世界的轟動。演講結束後，懷爾斯向《數學發明》雜志投交了他的證明手稿。誰知，8月份的時候審稿人發現了懷爾斯論文中存在一個微妙又嚴重的缺陷。這個證明是一個龐大的論證，有200頁左右，大量的定理和邏輯錯綜相連，環環相扣，如果這個缺陷不能得到補救，将使整個證明化為灰燼。

發現缺陷之後，懷爾斯立即開始修改。但由于這個缺陷涉及論證的根基，牽一發而動全身，懷爾斯很長時間都不能改好，他承受着期待、質疑和要求他公開證明手稿的多重巨大壓力。經過一年多的努力，懷爾斯的補救工作還是沒有進展，就在他想要放棄的時候，靈光一閃發現曾經棄用的岩澤理論的妙用，迎來了柳暗花明的時刻。他将岩澤理論和科利瓦金-弗萊切方法結合起來完美地填補了缺陷。

1995年5月，簡化後的證明稿件得以通過曆史上最嚴格的核查，發表在《數學年刊》上。從那一刻起，費馬猜想變成了費馬大定理。懷爾斯經過8年的艱難論證和修改，最終實現了他的夢想。

費馬大定理——數學史上的一座豐碑

有人說，證明費馬大定理的過程就是一部數學史。因為在350多年間，許多數學家為了證明費馬大定理而做出了自己的重要成果。

歐拉拓展了虛數的應用，庫默爾創立了關于理想數的理論，法爾廷斯證明了莫德爾猜想，肯·貝特裡證明了弗賴命題，懷爾斯擴展了伽羅瓦群的應用并證明了谷山—志村猜想。還有很多數學家及其思想成就不能一一列舉。費馬大定理催生了如此之多的新思想新成果，希爾伯特在一百多年前把費馬大定理比喻為“一隻下金蛋的鵝”，所言不虛。

數學各個分支曾被認為是一座座孤島，這些數學分支在自己各自的島上獨立發展，比如橢圓曲線和模形式就分屬不同的數學孤島。1967年，羅伯特·朗蘭茲猜測數學的很多分支之間有着緊密的聯系，這個猜測後來演變成朗蘭茲綱領，被認為是數學的“大統一理論”。懷爾斯在追逐費馬大定理的過程中對谷山—志村猜想的證明，建立起了聯系橢圓曲線和模形式這兩座數學孤島的堅實橋梁，在其中很多現代數學成果被完美地綜合起來，為朗蘭茲綱領預示的數學大統一構想添加了濃墨重彩的一筆，使得數學大統一的前景更加清晰可見。

曆經350多年，催生了無數思想成就的費馬大定理被證明之後，數學家們在松了一口氣的同時也略帶遺憾，繼續行進在證明其它難題和發展數學之路上。

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