本文提供了對s域傳遞函數與一階低通濾波器行為之間關系的一些知識和理解。

最近，我一直在寫關于濾波器的主題，雖然我一直專注于實際應用考慮，但我覺得有必要解釋一些重要的理論概念，以便那些想要更徹底的人受益 理解并分析模拟濾波器的行為。 現在每個人都可以使用軟件工具，使複雜的濾波器設計相對輕松，但我認為完全忽略數學基礎并不是明智的，雖然它對完成許多現實設計任務不是絕對必要的。

濾波器的響應可以用s域傳遞函數表示; 變量s來自拉普拉斯變換，代表複頻率響應。 例如：

該傳遞函數是一階低通濾波器的頻域特性的數學描述。 s域表達式有效地傳達了一般特征，如果我們想要計算特定的幅度和相位信息，我們所要做的就是用jω代替s，然後在給定的角頻率下評估表達式。

您可能想知道K和ωO來自哪裡 - 您可能從未見過具有以K和ωO表示的元件值的電路圖。 這裡的想法是K和ωO就像模闆的一部分，在下一節中我們将看看該模闆和電路圖之間的關系。

RC低通濾波器是與頻率相關的分壓器。 在s域分析中，電阻器的阻抗為R，電容器的阻抗為1/（sC），如下圖所示：

s域與電路分析

如果我們将這個表達式與标準化傳遞函數進行比較，我們可以看出K = 1且ωO= 1/RC。 一旦你知道K和ωO代表什麼，使用标準化形式的便利性就變得清晰了：K是電路在DC上的增益，ωO是截止頻率。 因此，通過将電路的傳遞函數與标準化傳遞函數進行比較，可以立即為一階低通濾波器的兩個特征定義表達式，即DC增益和截止頻率。

另一種标準形式的一階低通傳遞函數如下的方程所示：

如果我們将上面方程的分子和分母除以RC，我們可以将電路的傳遞函數拟合到下面的這個模闆中：

因此，aO = 1/RC，ωO=1/RC。 這種形式并沒有直接給我們DC增益，但如果我們評估s = 0的标準化表達式，我們就有了：

這意味着我們的RC濾波器的DC增益為（1/RC）/（1/RC）= 1，DC的單位增益正是我們對無源低通濾波器的期望。

我們已經看到标準傳遞函數中的ωO代表截止頻率，但這個事實的數學基礎是什麼？

首先，讓我們将标準的s域傳遞函數轉換為等效的jω傳遞函數。

現在讓我們評估截止頻率的表達式：

分母是一個複數，因此幅度可以表示為：

由于K是DC增益，幅度為1伏的極低頻率輸入信号将導緻幅度為K伏的輸出信号。 如果輸入頻率增加到每秒ωO弧度，輸出幅度将為：

上式中：

因子代表的是對應于-3 dB，您可能知道，截止頻率的另一個名稱是-3 dB頻率：

上圖是一階無源低通濾波器的幅度響應的形狀，當它被繪制為以dB為單位的幅度與對數頻率的關系。

這種直接的傳遞函數分析清楚地證明了截止頻率隻是濾波器幅度響應相對于極低頻幅度響應降低3dB的頻率。

低通濾波器的截止頻率對于電路的相位響應也具有特殊意義。 如果我們以x jy的形式寫出一個複數，我們就可以按如下方式計算出相位：

因此，我們的RC低通濾波器的整體相位響應是：

如果我們在ω=ωO處評估該表達式，則其相移為：

上圖是當相移相對于對數頻率繪制時一階無源低通濾波器的相位響應的形狀。

由一階低通濾波器産生的最大相移為90°，因此該分析告訴我們截止頻率是電路相位響應的“中心” - 換句話說，它是濾波器 産生一半的最大相移的頻率。

我希望您對s-domain（S-域）概念和傳遞函數分析的這一簡要介紹很感興趣。 模拟濾波器電路的數學基礎起初可能有點令人生畏，但我認為值得您花些時間來熟悉這些課題。 我将在以後的文章中繼續探讨這個課題，敬請關注！

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