初中幾何中經常會遇到證明邊長比例關系的問題。現在總結一下常見的幾種方法技巧。以證明三角形角平分線定理為例。
三角形角平分線定理：
在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則AB/BD=AC/CD。
方法1：利用相似三角形的比例關系（相似法）
（這是證明線段長度比例關系最常用的方法）
證明的關鍵是“構造相似三角形”，“做平行線構造相等角度”是構造相似三角形的最常用方法。
過C作CE∥AB，交AD的延長線于E
∵CE∥AB
∴∠ABC=∠BCE，且∠BAD=∠AEC（平行線形成的内錯角相等）
∴△ABD∽△ECD
∴AB/EC=BD/DC
∵AE是∠BAC的角平分線
∴∠CAE=∠CEA，即△ACE是等腰三角形，AC=EC
于是得到：AB/AC=BD/DC。證畢。
方法2：利用圖形面積的比例關系證明線段的比例關系（面積法）
（很多看似複雜不知該如何構造相似三角形的問題可以嘗試）
在△ABC中，AD是∠BAC的平分線
過點D作DE⊥AB，DF⊥AC
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵2S△ABD=AB×DE且2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC
又∵S△ABD：S△ACD=BD：CD（同高，面積比例為底邊比例）
∴S△ABD:S△ACD=AB：AC=BD:CD
∴AB:AC=BD:CD
方法3：代數法（利用正弦定理、餘弦定理計算邊長的數量關系）
正弦定理：△ABC中，∠A、∠B、∠C對邊分别為 a、b、c。
則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為三角形外接圓半徑）
根據正弦定理有：
AB/BD=sin∠ADB/sin∠BAD
AC/CD=sin∠ADC/sin∠CAD
∵∠ADB與∠ADC互為補角
∴sin∠ADB= sin∠ADC
∵AD為∠BAC的平分線
∴sin∠BAD= sin∠CAD
∴AB/BD= AC/CD，即AB/AC=BD/CD
以上是總結的幾種證明邊長比例關系的常用方法。在遇到類似問題時，腦海中應當迅速地遍曆一下這幾種方法并進行心算推演，一定會大大提升解題效率。
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