二元函數的偏導數公式-tft每日頭條

二元函數的偏導數公式

生活更新时间:2025-03-10 04:28:17

題型一：二重極限不存在

證明重極限不存在的常用方法是，取兩種不同的路徑，f(x,y)在點(x0,y0)處的極限不相等或取某一路徑f(x,y)在點(x0,y0)處的極限不存在，均可證明重極限f(x,y)在點(x0,y0)處的極限不存在。

例1：證明下列重極限不存在：

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）1

證明：

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）2

總結：利用沿不同直線趨向于點(x0,y0)時極限不相等證明重極限不存在是一種證明重極限不存在的常用方法。

題型二：求二重極限

求二重極限常用的有以下四種方法：

（1）利用極限的性質（如四則運算法則，夾逼原理)；

（2）消去分母中極限為零的因子（通常采用有理化，等價無窮小代換等)；

（3）轉化為一元函數極限，利用一元函數求極限方法求解；

（4）利用無窮小量與有界變量之積為無窮小量。

例2：求下列二重極限

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）3

解法一：

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）4

将分子有理化

解法二：

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）5

轉化為一元函數極限

解法三：

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）6

利用等價無窮小代換

題型三：二元函數的連續性和偏導數存在性

分析：解決這一類題型的常用方法為利用函數連續和偏導數的定義。

例3：

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）7

解：

二元函數的偏導數公式（高等數學之二元函數的極限）8

總結：一般利用偏導數的定義求解。

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