大家好！感謝閱讀本雞的拙作。

本文專為初學微積分的選手選手設計，需要複習微積分概念的，也很适合。

沒有晦澀的證明，隻說人話。

一個例子基本上可以說明數列所有的事，定義和極限存在法則。現在想想pi，圓周率。你肯定能寫出來十進制表達式π=3.1415926........。現在你這樣寫，先寫3.1，再寫3.14，.......

這就得到一個序列，因為這一坨東西，每一個都是數，并且可以說第一個數、第二個數......

要理解，這實際上是一個映射，或者說函數，也就是用全體自然數，給特定的一坨數，貼上唯一的标簽。你如果恰好懂“可列”這個詞，那就太好了。如果不懂，暫時影響也不大；可以看本雞的拙作“菜雞速通微積分：自然數、有理數、奇數等等都一樣多！一句話的事”。提這件事的目的在于，讓你體會，數列的極限與函數的極限，基本上是一回事。

現在我們避開讨論一個困難的問題，就是你到底能不能寫出來，實際上你寫不出來，重要的是，你寫不出來也不要緊。π隻是一個符号，代表着圓周率。所有的無理數你都不知道确切的數值，但是無理數一定有其存在的意義：比如圓周率就是圓周長除以半徑，這是比率的意思。

回來繼續說。如果一系列數，最終能趨于一個數，就說那個數是數列的極限。記号在上面圖裡面最後一行，如果極限是實數L，那麼就寫

現在，重點來了。不難，但請别讀太快。epsilon-N語言來了。先把這一列數，畫出來。

仔細看圖。

馬上可以說單調收斂準則：數列單調有界必收斂。

現在，明擺着，雖然不知道π的具體值，但是，這個數列，最後的确會趨于π。原因是，比方說，如果你隻觀察到第二項，那麼可以說π在3.1和3.15之間；觀察到第三項以後，就可以說π在3.14和3.142之間，以此類推。後面說成是夾逼準則。

這樣就能抽象出來幾件事：

1.定義。不論給定多麼小的一個數，記作epsilon，總有一個自然數N（項的下标，就是第幾個的意思），使得有一個實數（現在是π），與第N 1項以後所有項的數值，差别不會超過epsilon。寫出來，就是：

讀作：任給一個epsilon，都存在一個正整數N，使得當n>N時，an與L的差不超過epsilon。

這就是所謂epsilon-N條件---L就是極限。也說數列收斂。這就是嚴格的數列極限定義。這裡有一個很大的邏輯上的困難，最後再說。

2.定理

仍然看圓周率的圖像，還有上面的表達式，就可以說，從第N 1項以後所有項，落在極限周圍任意小的鄰域（範圍内）。你能看懂下面這個圖了。

這個圖告訴我們很多事

“去掉數列的前面（或者随便哪些）任意有限項，不改變其收斂性”；因為除了有限項，數值都在特定範圍内。

并且“收斂序列一定有界，并且最終有界”；等價的“最終無界數列不收斂”這種情況麻煩些，序列可能趨于正無窮，或者負無窮，或者不斷在正負無窮這兩個東西跳來跳去。

柯西準則：從N開始，任意兩項差别任意小。這簡直是廢話。

夾逼準則：回憶分割線上面的一段，觀察下面的圖，明擺着三個序列都收斂到π。這就是某序列被夾在兩個序列之間，這兩個序列有相同的極限，那麼就逼着序列an有相同的極限。

本文的主題到此結束。下面多說幾句。

前面有個巨大的困難，如果你事先不能明确有個東西叫做π，那麼數列收斂到什麼？這裡涉及兩個原則性的大問題：

1.實數的分析（極限）運算性質，完備性和連續性。意思是實數列如果收斂，那麼極限是實數。以及，任何實數，都唯一對應着數軸上的一個點，數軸沒有縫隙。

你可能說，廢話，誰不知道π？你可拉倒吧，世界上沒讓人能寫出π的十進制表達式。據說有人能背出上萬位，但是，隻要停下來，就是有限位，這就是有理數！為了避免篇幅，不去談稠密性。所以，如果沒有事先定義好π，e，根号2，.......你根本一步都走不了。

2.實數的代數運算（域）性質，你要談四則運算法則，以及分配律。這裡說的就是三件事：實數關于加法是Abel群，除去0以後對乘法也是Abel群，乘法對加法有左右分配律。極限也要做代數運算，比如極限的和差積商。

此外，實數還必須能夠比較大小，否則你不能使用不等式來說事。

一句話，”實數集是具有上确界性質的有序域“。這就是是微積分絕對的基礎；類似的，複數集也類似有完備性域性質，但有明顯區别，複數不能直接比較大小。這是複分析的基礎。因此，真正有水平的書，都會花大力氣，從邏輯上定義實數。比如

素材還取自J.stewart的書，

以及同濟高數。

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