如果你正在學習線性代數，給你一個等式x=4，請你畫出一個與等式在線性代數上相關聯的矩形，該怎麼辦呢？

在上一篇文章趣味線性代數（一），從二元一次方程組開始帶你輕松入門線性代數裡，我們講過，求多元一次方程組的解，即是為n維向量找一個新的正交向量，需要增加一個空間維度。

那麼，我們暫且将x=4看作是未解的一元一次方程，并給它換一個形式表達：1*x 4*(-1)=0，就從一維變成二維了。然後用矩陣的形式寫出來：

很明顯x=4喽，那好，把它代入到矩陣方程裡，就有：

因為内積為0，所以向量（1，4）和（4，-1）是垂直的，既然兩條垂直的線段有了，那要求的矩形是不是也就有了？如下圖：

我們将兩個向量組成一個行列式，然後對角相乘再相減，算出結果如下：

忽略負号，隻看17，它跟圖中矩形的面積是相等的。這個計算相對簡單，我們略過，繼續往高維空間拓展。

把行列式裡的兩行元素作為系數，構建一個二元一次方程組，如下：

變換一下形式：

容易算出，x1=2，x2=1,寫出矩陣方程，并将已知解代入，有：

因為内積為0，所以向量（1，4，6）和（4，-1，7）分别與向量（2，1，-1）垂直。将三個向量合在一起，組成一個新的行列式：

這樣，維度由二維上升到三維，同時，我們得到一個棱柱體，為什麼不是立方體呢？因為向量（1，4，6）和（4，-1，7）之間的夾角不是90度，如下圖：

圖形失真，向量（2，1，-1）和另兩個向量其實是垂直的

講到這裡，我們基本清楚行列式是什麼了，一行代表一個向量，一列代表一個空間維度，每個元素，對應一個空間坐标。

那麼，行列式為什麼要計算呢？回頭看上面的二階行列式，它的計算結果是-17，而對應向量所圍合的矩形的面積是17，兩者相等。這是巧合嗎？

假設兩者是有關聯的，即二階行列式的計算結果與對應向量圍合的矩形面積相等，那三階行列式的計算結果會不會與對應向量圍合的棱柱體的體積相等？

那我們就來算一下吧。先計算行列式：

然後，再計算由向量（1，4，6）、（4，-1，7）和（2，1，-1）圍合的棱柱體的體積。因為向量（2，1，-1）與另兩個向量垂直，我們用它來做棱柱體的高，用向量（1，4，6）和（4，-1，7）圍合的平行四邊形做底面。

那麼棱柱體的高為：

平行四邊形的面積用三角函數面積公式S=1/2ab sinc來求，先用向量的内積除以向量長度的乘積，求其夾角的餘弦：

平行四邊形面積等于兩倍的三角形面積，即：

那麼棱柱體的體積為：

這個結果和行列式的計算結果是一樣的。根據上面的兩個例子，我們可以粗略地（因為沒有嚴格證明）下一個結論：行列式的計算結果即是對應向量所圍合的空間體量。這一點在對角行列式上最明顯，每個維度上，隻有一個非零數值，截取三維空間上的一部分，恰好是一個立方體。

這樣我們就好理解，為什麼行列式要斜着相乘了。因為不同維度相乘才對其空間體量有意義，這就好比求面積要長X寬，求體積要長X寬X高。

至于行列式各項的乘積法則反而不重要，因為我們不需要每項都算。回頭看上面的行列式計算，行列式變換前後是等價的，所以我們可以把行列式化簡到最簡單的形式，再計算。

基于上述的内容，有下面幾個結論：

1、一個行列式可以有無窮多種變形，對應的無窮多的向量空間在體量上是等價的。就像水一樣，在不同的容器裡，形狀會變，體積不變。

行列轉置也是變形的一種，不影響計算結果。

2、行列式可以提取公約數，對應的向量空間體量等比例縮小，從圖形上大約也能看出來，如下圖：

互換了Y和Z軸，但不影響結果

3、行列式的計算結果并不重要，更多的時候，我們隻需要判斷它為不為零。有一種行列式計算結果為零的情況，就是行列式的兩行或兩列元素完全相同。我們想像一下，如果兩行元素完全相同，是不是相同于在當前的向量空間裡，有兩條線是完全重疊的。

這就好比紙箱壓成了紙片，體積可不就是零嘛！

所以，當行列式的計算結果為零時，說明至少有一個維度裡，是沒有向量的。所以，我們用行列式來判定向量空間的飽滿度。後面要學到的向量組的線性相關與線性無關，說白了就是向量空間飽滿度的問題。

比如在我們生活的現實世界裡，一個紙箱以它的長、寬、高為三組向量，相對于三維空間，紙箱的向量空間就是飽滿的，我們沒法再找到一個向量（或直線）與它的長、寬、高同時垂直，那麼長、寬、高就是線性無關的。一張紙片以它的長、寬為兩組向量，相對于三維空間，紙片的向量空間是不飽滿的，我們可以用一條豎直向量（或直線）與它的長、寬同時垂直，那麼長、寬就是線性相關的。這些都可以從行列式的計算結果裡找到答案。

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