怎麼理解一元函數微分學?對于某一個函數F(x)，下面引入一個相關函數來觀察其函數極限，現在小編就來說說關于怎麼理解一元函數微分學?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

怎麼理解一元函數微分學

對于某一個函數F(x)，下面引入一個相關函數來觀察其函數極限

g(x) = (F(x0 x) - F(x0))/ x

上式中的x0暫視為一個常數。

将上式改寫為：

g(x,x0) = (F(x0 x) - F(x0))/ x

其中g(x,x0)表示此函數含有參數x0（暫視為常數）。

顯然，如果F(x)在x=x0點上連續，則g(x,x0)在x=0這個點上是個待定型0/0。若g(x,x0)的x=0點是個可去間斷點（即其在此點上的左右極限存在且相等），通過重新定義g(0,x0)使其等于g(x,x0)在此點上的極限，則可得到唯一的值

g(0,x0) = lim[x→0] g(x,x0)

現在，換一種形式表示上式

f(x) = g(0,x) = lim[∆x→0] g(∆x,x) = lim[∆x→0] [(F(x ∆x) - F(x))/ ∆x]

其中，将原x換成∆x（表示x的一個小的差分量），将x0換成x（視原x0為變量且用x代之）。即

f(x) = lim[∆x→0] [(F(x ∆x) - F(x))/ ∆x]

這就是通常所用的導函數定義形式。記為

f(x) = d/dx F(x)（或dF(x)/dx、F'(x)）

如前所述，這是個一元實函數集上的映射。

如果将導函數的定義寫成如下形式

f(x) = lim[x'→x] [(F(x') - F(x)) / (x' - x)]

則可以看出導函數f(x)其實就是與函數F(x)交點為(x,F(x))和(x',F(x'))的割線之斜率在x'→x時的極限，即過點(x,F(x))的切線斜率。這就是導函數的幾何意義。

我們已經知道，導函數可表示成f(x) = dF(x)/dx。其中dF(x)/dx原本隻是個“符号”，是映射d/dx F(x)的另一種表示。如果考慮函數F(x)過點(x,F(x))的切線上的點，其切線上任意兩點的差分商∆y/∆x都等于f(x)，換種寫法為

∆y = f(x)∆x （= F'(x)∆x）

令差分無限小，且用dy和dx代之，便有

dy = f(x)dx （= F'(x)dx）

這就是所謂的微分形式（簡稱微分）。現在分析一下函數F(x)的差分和相應切線差分（或微分）的誤差，即

∆F(x) - F'(x)∆x = F(x ∆x) - F(x) - F'(x)∆x

除∆x得

(∆F(x) - F'(x)∆x)/∆x = (F(x ∆x) - F(x))/∆x - F'(x)

若F(x)存在導函數（或可導），取極限得下式

lim[∆x→0] [(∆F(x) - F'(x)∆x)/∆x] = 0

即(∆F(x) - F'(x)∆x)是較之∆x的高階無窮小量，表示為

∆F(x) - F'(x)∆x = o(∆x)

或 ∆F(x) = F'(x)∆x o(∆x)

數學上稱此為可微，直接表示成

dF(x) = F'(x)dx

明顯可知，一個函數可微的充分必要條件是可導。

由單側極限可定義相應的單側導數，在此不作詳述。

高階微分（導數）是微分的微分（導函數的導數），具體内容在此略。

下面分幾方面說明微分或導數的相關性質

一）導數的運算法則

1）導數算子的線性特性

d/dx (a f(x) b g(x)) = a d/dx f(x) b d/dx g(x)

2）乘法運算法則

d/dx (f(x)g(x)) = g(x) d/dx f(x) f(x) d/dx g(x)

3）除法運算法則

d/dx (f(x)/g(x)) = (g(x) d/dx f(x) - f(x) d/dx g(x))/g(x)^2

4）反函數運算法則

如果函數f(x)存在導函數d/dx f(x)且存在可導的反函數，則其反函數的導函數是

d/dx f⁻¹(x) = 1/(d/dy f(y))

其中，x=f(y)。

顯然，反函數的導數與原函數之導數呈倒數關系，這容易從“符号”關系dx/dy = 1/(dy/dx)中看到。

5）複合函數運算法則

如果函數f(x)和g(u)存在導函數，則其複合函數g(f(x))的導函數是

d/dx g(f(x)) = d/du g(u) d/dx f(x)

這叫複合函數的導數鍊乘法則，這也容易從“符号”關系dy/dx = (dy/du)(du/dx)中看到。

由上述五個運算法則可知，初等函數的導函數在其自然定義域内存在且可解析求解。

二）微分中值定理（簡單羅列）

1）費馬引理

2）羅爾定理

3）拉格朗日中值定理

4）柯西中值定理

三）羅必塔法則

針對待定型（0/0）的極限求解，有如下羅必塔法則

設f(x)和g(x)在點x0上都是無窮小量且可導，若g(x)的導函數在x0點的某領域内非零且f'(x)/g'(x)連續，則有

lim[x→x0] [f(x)/g(x)] = lim[x→x0] [f'(x)/g'(x)] = f'(x0)/g'(x0)

四）泰勒級數（展開）

泰勒級數是個(x-x0)的多項式，形式為

∑[k=0,n] ak (x-x0)^k

其特點是在x=x0點上泰勒級數的k≤n階導數和與之相應的函數f(x)的k階導數相等。顯然

a）0次泰勒級數展開

f(x0)

與函數f(x)在x=x0點上有相同的函數值。

b）1次泰勒級數展開

f(x0) f'(x0)(x-x0)

在前基礎上，與函數f(x)在x=x0點上有相同的一階導數，即斜率相同。

c）2次泰勒級數展開

f(x0) f'(x0)(x-x0) (f''(x0)/2)(x-x0)^2

同樣在前基礎上，還與函數f(x)在x=x0點上有相同的二階導數，即曲率相同。

....等等。

泰勒展開是分析和近似計算的有力工具，具體相關内容在此略。

最後列出幾個基本初等函數的導函數

1）f(x) = x^μ

d/dx f(x) = μx^(μ-1)

2）f(x) = e^x

d/dx f(x) = e^x

3）f(x) = sin(x)

d/dx f(x) = cos(x)

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